我在 kjetil b halvorsen ( https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=758215 ) 建议的论文中找到了完整的解决方案。老实说，我很难理解它背后的数学原理，但最终的算法相当简单。如果我们有维度、半径和范数 ，则：$n$$r$$p$

1) 生成独立的随机实标量，其中是广义高斯分布（在指数而不仅仅是 )$n$$\varepsilon_i = \bar{G}(1/p, p)$$\bar{G}(\mu, \sigma^2)$$e^{−|x|^p}$$p=2$

2) 构造分量，其中是独立的随机符号$x$$s_i * \varepsilon_i$$s_i$

3) 生成，其中是均匀分布在区间 [0, 1] 中的随机变量。$z = w^{1/n}$$w$

4) 返回$y = r z \frac{x}{||x||_p}$

使用均匀分布的多元变量

Taeke 提供了一篇文章的链接，下面的文本通过具体解释 2-norm 和 1-norm 的情况使该文章更加直观。

2-范数$\Vert x \Vert_2 \leq r$

样品方向

您可以使用此结果http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html

多元高斯分布变量（具有单位协方差矩阵）仅取决于距离或平方和。$X$

$$f(X_1,X_2,...,X_n) = \prod_{1\leq i \leq n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}x_i^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}\sum_{1 \leq i \leq n} x_i^2}$$

因此均匀分布在 n 维超球体的表面上。$\frac{X}{\Vert X \Vert_2}$

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样本距离

要完成，您只需对距离进行采样，将球体上的均匀分布更改为球体中的均匀分布。（这与您的磁盘点拾取链接示例或多或少相似）

如果您只是简单地将采样为均匀分布，那么您将在中心附近具有相对较高的密度（体积缩放为因此一小部分点最终会出现在体积中，它更密集靠近中心，并不意味着均匀分布）$r$$r^n$$r$$r^n$

相反，如果您使用个根，那么您将得到一个均匀分布。$n$

1-范数$\Vert x \Vert_1 \leq r$

方向

在这种情况下，您从拉普拉斯分布而不是高斯分布中采样，然后除以 1 范数。均匀分布在 n 维 1 范数球面上。$X$$\frac{X}{\vert X \vert_1}$

我没有正式的证据，只有直觉

^{（由于 pdf 与位置无关，因此您会期望任何具有相同 1 范数的无穷小面积/体积具有相同的概率，并且当您将其折叠到单位表面时，相同的 )$f(x) dV$$f(x) dA$}

但模拟测试看起来不错。

library(rmutil)
x <- abs(rlaplace(20000))
y <- abs(rlaplace(20000))
z <- abs(rlaplace(20000))
rn <- abs(x)+abs(y)+abs(z)

xi <- (x/rn)
yi <- (y/rn)
zi <- (z/rn)
plot(sqrt(0.5)*(xi-yi),
     sqrt((0.5-0.5*(xi+yi))^2+zi^2),
     pc=21,bg=rgb(0,0,0,0.02), col=rgb(0,0,0,0),cex=1)

距离

距离与 2 范数情况相似（体积仍按缩放）。$r^n$

p-范数$\Vert x \Vert_p \leq r$

在这种情况下，如果您希望遵循相同的原则，则需要从具有的分布中采样（我假设）。这些是广义正态分布，可能与Taeke 提到$f(x) \propto e^{\vert x \vert^p}$$G()$