$\beta_1X \sim Gamma(\alpha_1, 1)$和$\beta_2 Y \sim Gamma(\alpha_2, 1)$，然后根据维基百科

$$\dfrac{\beta_1X}{\beta_2Y} \sim \text{Beta Prime distribution}(\alpha_1, \alpha_2).$$

另外，你写的短手$\beta'(\alpha_1, \alpha_2)$. 现在 Wiki 页面还描述了一般 Beta-prime 分布的密度$\beta'(\alpha_1, \alpha_2, p, q)$， 作为

$$f(x) = \dfrac{p \left( \frac{x}{q}\right)^{\alpha_1 p-1} \left(1 + \left(\frac{x}{q} \right)^p \right)^{-\alpha_1 -\alpha_2} }{q B(\alpha_1, \alpha_2)}.$$

Beta-prime 分布是一般 Beta-prime 分布的特例，当$p = q = 1$. 另外wiki页面说一个常数$k$

$$k\beta'(\alpha_1, \alpha_2, p, q) = \beta'(\alpha_1, \alpha_2, p, kq).$$

因此，

$$\dfrac{X}{Y} \sim \beta'\left(\alpha_1, \alpha_2, 1, \frac{\beta_2}{\beta_1} \right).$$

Greenparker 的回复说明了一切，但您也可以注意到$\Gamma$分布可以表示为缩放$\chi^2$分布，并且两个的适当比例$\chi^2$随机变量遵循$F$分配。

遵循上面的参数化和缩放规则，如果$X\sim\Gamma_{(\alpha,\beta)}$， 然后$2\beta X\sim\chi^2_{2\alpha}$

这意味着对于您的两个 Gamma 分布变量$X$和$Y$,

$$\frac{\alpha_2\beta_1 X}{\alpha_1\beta_2 Y}\sim F_{(2\alpha_1,2\alpha_2)}$$

在哪里$F$是个$F$分配。您也可以说 X/Y 遵循缩放 $F$分配。