根据定义，序数刻度是其中槽口之间的真实距离1 2 3 4未知的量规。就像您在毒品/酒精下看到统治者一样。真实距离可以是任意的。它可能是1 2 3 4或1 2 3 4或其他。我们无法计算统计数据 - 例如相关性 - 除非确定距离并修复它们。

一种推理如下。由于我们的测量尺度，仪表，以一种未知的单调方式扭曲，我们不能相信数据值。只有它们的数量级是值得信赖的。没有进一步的大脑控制，宣布秩序为价值。因此，我们将观察到的分布替换为均匀分布，即秩。之后，可以计算关联系数，例如 Pearson。正如我们所知，那将是 SpearmanPearson衡量线性关联的强度。对变量进行排名是一种将单调关系的部分线性化的技巧，该部分归因于最初的分布不均匀。因此，斯皮尔曼$r$$rho$$r$$rho$是这种关系中这种单调性的度量，它可以在均匀边缘分布的作用下转化为线性。在 OP 问题中，两个变量中只有一个是有序的（第二个是连续的）。因此，通常不需要对这两个变量进行排名。可以只对序数进行排名，然后计算。$r$

另一种方法，替代排名（统一），可能是序数变量的最佳缩放。最优标度是一个迭代过程，其目标是在序数标度上找到这样的距离——即找到它的这种单调变换——使得变量之间的线性尽可能最大化。排名方法基于“真实尺度对应于具有均匀分布的数据”的前提，而最优尺度方法基于“真实尺度对应于具有最大线性$r$$r$“。可以在分类回归（CATREG）中进行最佳缩放。但是，分类回归要求其他输入变量是离散的（不一定是有序的），因此如果它是连续的，具有许多唯一值，则必须由您任意分箱.

还有其他方法。但无论如何，我们单调地变换序数尺度“以便……”（一些假设或某个目标），因为序数尺度以未知的方式扭曲了我们。从根本上来说，另一个决定是首先“清醒”并决定它要么不失真（即它是间隔），要么以已知的方式失真（非等间隔），或者是名义上的。

一些非对称方法可能包括序数变量与另一个（间隔/连续）变量的序数回归。或按序数对后者进行线性回归，其中预测变量被视为多项式对比（即，输入为b1X + b2X^2 + b3X^3,...）。这些方法的弱点是它们是不对称的：一个变量是依赖的，另一个是独立的。

斯皮尔曼的等级相关系数（单调关联的非参数测量）有什么理由不够用吗？单调性是否太“前装”？它基于变量的独立生成等级（和 ） ：$d_{i} = x_{i} - y_{i}$$x_{i}$$y_{i}$

$r_{\text{S}} = 1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}{d^{2}_{i}}}{n\left(n^{2}-1\right)}$

如果单调性是一个过于严格的假设，我想知道基于最大信息的方法，例如 Reshef (2011, 2013) 提出的方法，它甚至不假设和之间的函数关系可能更符合你是什么寻找？$X$$Y$

参考

Reshef, D.、Reshef, Y.、Finucane, H.、Grossman, S.、McVean, G.、Turnbaugh, P.、Lander, E.、Mitzenmacher, M. 和 Sabeti, P. (2011)。在大型数据集中检测新的关联。科学，334（6062）：1518-1524。

Reshef, D.、Reshef, Y.、Mitzenmacher, M. 和 Sabeti, P. (2013)。最大信息系数的公平性分析，并进行比较。arXiv，8 月 14 日。