要查看哪些 p 值是正确的（如果有的话），让我们对原假设为真的模拟数据重复计算。在当前设置中，计算是对 (x,y) 数据的最小二乘拟合，零假设是斜率为零。在这个问题中有四个 x 值 1、2、3、4，估计误差在 0.7 左右，所以让我们将其合并到模拟中。

这是设置，编写为每个人都可以理解，即使是那些不熟悉R.

beta <- c(intercept=0, slope=0)
sigma <- 0.7
x <- 1:4
y.expected <-  beta["intercept"] + beta["slope"] * x

模拟生成独立的错误，将它们添加到 中y.expected，调用lm以进行拟合，并summary计算 p 值。尽管这效率低下，但它正在测试使用的实际代码。 我们仍然可以在一秒钟内进行数千次迭代：

n.sim <- 1e3
set.seed(17)
data.simulated <- matrix(rnorm(n.sim*length(y.expected), y.expected, sigma), ncol=n.sim)
slope.p.value <- function(e) coef(summary(lm(y.expected + e ~ x)))["x", "Pr(>|t|)"]
p.values <- apply(data.simulated, 2, slope.p.value)

$0$$1$当原假设为真时，正确计算的 p 值将像和这些 p 值的直方图将使我们能够直观地检查这一点——它看起来是否大致水平——并且均匀性的卡方检验将允许进行更正式的评估。这是直方图：

h <- hist(p.values, breaks=seq(0, 1, length.out=20))

而且，对于那些可能认为这不够统一的人，这里是卡方检验：

chisq.test(h$counts)

X 平方 = 13.042，df = 18，p 值 = 0.7891

此测试中的大 p 值表明这些结果与预期的均匀性一致。换句话说，lm是正确的。

那么，p 值的差异从何而来？让我们检查一下可能被调用来计算 p 值的公式。在任何情况下，测试统计量将是

$$|t| = \left| \frac{\hat\beta - 0}{\operatorname{se}(\hat \beta)}\right|,$$

等于估计系数与假设（和正确值）之间的差异，表示为系数估计的标准误差的倍数。在问题中，这些值是$\hat \beta$$\beta = 0$

$$|t| = \left|\frac{3.05}{0.87378 }\right| = 3.491$$

对于截距估计和

$$|t| = \left|\frac{-1.38 }{ 0.31906 }\right| = 4.321$$

用于斜率估计。通常，这些将与自由度参数为（数据量）减去（估计系数的数量让我们计算它的截距：$t$$4$$2$

pt(-abs(3.05/0.87378), 4-2) * 2

[1] 0.0732

（此计算将左尾 Student概率乘以，因为这是对与两侧替代的测试。） 它与输出一致。$t$$2$$H_0:\beta=0$$H_A:\beta \ne 0$lm

另一种计算方法是使用标准正态分布来近似学生分布。让我们看看它产生了什么：$t$

pnorm(-abs(3.05/0.87378)) * 2

[1] 0.000482

果然：biglm假设统计量的零分布是标准正态分布。这是多大的错误？使用代替重新运行前面的模拟会给出这个 p 值的直方图：$t$biglmlm

这些 p 值中几乎有 18% 小于，这是“显着性”的标准阈值。这是一个巨大的错误。$0.05$

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我们可以从这个小小的调查中学到的一些教训是：

1. 不要对小数据集使用从渐近分析（如标准正态分布）得出的近似值。

2. 了解您的软件。