考虑一个样本$X_1,X_2,\ldots,X_n$从单变量$N(\mu,\sigma^2)$分布在哪里$\mu,\sigma^2$都是未知数。则可知在平方误差损失下，样本方差$s^2=\frac1{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2$不可用于估计$\sigma^2$因为有更好的估算器$\left(\frac{n-1}{n+1}\right)s^2=\frac1{n+1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$.

现在这个第二个估计器本身在相同的损失函数下是否可以接受？在以下形式的估计器中，它当然具有最小的风险$cs^2$，但是我们怎么知道在这个类之外没有另一个风险较小的估计器呢？

我对什么时候有同样的问题$\mu$是已知的。如果$\mu=0$, 那么可以证明$T=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n X_i^2$在估计的平方误差损失下是不可接受的$\sigma^2$因为有更好的估算器$\left(\frac{n}{n+2}\right)T=\frac1{n+2}\sum\limits_{i=1}^n X_i^2$. 但不知道有没有$\left(\frac{n}{n+2}\right)T$是否可接受。

我终于在 Lehmann/Casella 的点估计理论（第 2 版，第 330-334 页）中找到了这两个问题的可访问参考。