在Tirnakli、Beck 和 Tsallis 于2007 年发表的论文“确定性动力系统的中心极限行为”中，他们指出

在物理学界鲜为人知但在数学界广为人知的是，还有用于确定性动力系统迭代的 CLT。确定性动态系统的迭代永远不可能完全独立，因为它们是由确定性算法生成的。然而，如果 IID 的假设被动力系统足够强混合的较弱性质所取代，那么可以证明各种版本的 CLTs 用于确定性动力系统。

他们以逻辑图 ， 当时，序列是强混合的，具有不变的密度 （即）。那么平均 的极限分布 是居中高斯分布，此时原值是一个具有绝对连续概率分布的随机变量。此高斯分布的（限制）方差为。

$$x_{i+1}=T(x_i)=1-ax_i^2$$ $a=2$ $$\pi(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{1−x^2}}$$ $T\pi=\pi$ $$\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=1}^N x_i$$ $x_1$$1/2$

请注意，对于 ，逻辑图是混乱的，因此可用于随机生成器。$a=2$

类似的中心极限定理可以在遍历理论中找到，对于一些具有无限遍历度量的动力系统（例如，参见这些讲义、定理 76 或本文）。

没有数学证明，原因很简单，即像 CLT 这样的陈述（甚至更弱的结论，例如“算术平均值将收敛”）对于伪随机数是不正确的。然而，有理论可以通过函数评估的加权和来近似积分。这尤其适用于伪随机数，但也适用于准随机数或其他设计，例如网格。

除了集成之外，伪随机数还用于其他应用，例如模拟。我的回答确实只涉及数值积分而不是其他应用程序。

反例

CLT 的情况是独一无二的，它在更强有力的结论中确保了每个（平方）可积函数的积分估计值的收敛性。对于有限确定性序列（伪随机或其他），不可能有类似的陈述。这是一个反例：

• 一个函数$f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$和$\int_0^1 f(x)dx=1$但$\sum_i f(x_i)=0$对于随机生成器的所有输出。

这是可能的，因为您的伪随机数生成器将具有有限（！）数量的可能输出$x_1, \ldots, x_N$. 这个数字是有限的，因为它是由具有有限内存的确定性机器生成的。请参阅此答案以获取更多说明。现在，给定这个有限集，函数分析的标准练习是构造一个函数，该函数在这些点上完全为零，但在其他任何地方都足够大以形成积分（见这里）。这个函数实际上可以选择为无限可微的，即非常平滑和“好”。

误差估计

为了排除上述反例，误差估计必须考虑平滑度之外的定量特性。最著名的例子是Koksma-Hlawka 不等式：

$$\left| \frac{1}{N}\sum_i f(x_i) - \int_0^1 f(x) dx \right|\leq V(f) \,D(x_1,\ldots,x_N).$$

$V(f)$是总变异$f$和$D(x_1,\ldots,x_N)$集合的“星差”$\{x_1,\ldots,x_N\}$.

星差是衡量集合中的点与均匀性的偏差的量度。它被定义为相对点数之间的最大差异$x_i$在任何子区间$[0,1]$以及区间的 Lebesgue 度量，即它的长度：

$$D(x_1,\ldots,x_N) = \sup_{I\subset [0,1]} \left| \frac{\text{# of $x_i$ in }I}{N} - \lambda(I)\right|.$$

在实践中意味着什么？

Koksma-Hlawka 不等式很好地将积分误差分成两个不同的贡献。一部分与您要集成的功能有关，另一部分与设计有关，即用于集成的点的选择。

不等式显示了反例的问题。由于必须将函数强制降至零，然后对每个再次上升，因此函数的图形会摆动很多。这会产生非常大的总变异并推高误差，即使设计点的选择可能几乎是一致的。$x_i$

另一方面，不等式解释了为什么伪随机数起作用（在大多数情况下）。最终，您的伪随机数将几乎均匀地填满整个区间，您的星数差异将变得非常非常小。

此外，它还解释了为什么人们没有停留在伪随机数上，而是进一步走向了准蒙特卡洛。“随机”选择点将导致点集中度更高和更低的区域，平滑这一点将降低星形差异并提高近似质量。