机器算法验证 - 我该如何计算∫∞− ∞Φ（一z+ b )2φ ( z)dz∫−∞∞Φ(az+b)2ϕ(z)dz以封闭形式？ - 吾爱随笔录

我该如何计算∫∞− ∞Φ（一z+ b )2φ ( z)dz∫−∞∞Φ(az+b)2ϕ(z)dz以封闭形式？

机器算法验证数理统计

2022-03-14 10:09:49

如何以封闭形式评估平方正态 CDF 的期望？

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

这里， $a$ , $b$ 是实数， $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ ，和 $\phi(\cdot)$ 和 $\Phi(\cdot)$ 分别是标准正态随机变量的密度和分布函数。

1个回答

正如我在上面的评论中所指出的，请查看 Wikipedia 以获取高斯函数的积分列表。使用您的符号，它给出

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$ 在哪里

T (h, q)

$T(h,q)$ 是欧文的 T 函数定义为

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

如果你插 $a=1,b=0$ 你会得到 $1 \over 3$ 正如评论所表明的那样。

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