机器算法验证 - 是否存在 MAD 统计量具有封闭形式密度的非平凡设置？ - 吾爱随笔录

机器算法验证分布密度函数累积分布函数中位数疯狂的

2022-03-02 10:52:05

一个 iid 样本的MAD 统计量定义为与中位数的绝对偏差的中位数： $(x_1,\ldots,x_n)$

mad (x_{1}, \dots, x_{n}) = med {| x_{i} - med (x_{1}, \dots, x_{n}) |; i = 1, \dots, n} .

$\text{mad}(x_1,\ldots,x_n)=\text{med}\left\{|x_i-\text{med}(x_1,\ldots,x_n)|;\ i=1,\ldots,n \right\}\,.$

上是否存在非平凡（连续）分布，使得的分布可以以封闭形式（cdf 或密度）获得。 $X_i$ $\text{mad}(X_1,\ldots,X_n)$

下一个未知级别是中位数的联合的 iid 样本的 MAD 统计量的推导。 $n$

1个回答

对于均匀分布， -这些样本中的最小样本具有相同的分布。 $2n-1$ $(n-1)^{th}$

计算可以为其中和

F (m) = (2 n - 1)! \int_{A_{m}} d x_{1} \dots d x_{2 n - 1}

$F(m)=(2n-1)! \int_{A_m} dx_1\ldots dx_{2n-1}$

\begin{aligned} A_{m} = {(x_{1}, \dots, x_{2 n - 1}) : & 0 < x_{1} < \dots < x_{2 n - 1} < 1 \\ & min (g_{1}, \dots, g_{n}) < m} \end{aligned}

$\begin{align} A_m = \{(x_1,\ldots,x_{2n-1}): \ &0< x_{1}< \cdots < x_{2n-1} < 1 \\ &\ \& \, \min(g_1, \ldots, g_n)<m\} \end{align}$

g_{i} = max (x_{(i + n - 1)} - x_{(n)}, x_{(n)} - x_{(i)})

$g_i = \max(x_{(i+n-1)}-x_{(n)},x_{(n)}-x_{(i)})$

我猜想结果总是，其中是不完全 beta 函数，我已经验证了 . 如果是这样，则在订单统计方面对此的解释是here，对应的pdf为 $F(m)=I_{2m}(n-1,n+1)$ $I$ $n=2,3,4,5,6$

f (m) = \frac{2 (2 n - 1)!}{n! (n - 2)!} (2 m)^{n - 2} (1 - 2 m)^{n} .

$f(m)=\frac{2(2n-1)!}{n!(n-2)!}\, (2m)^{n-2}(1-2m)^n.$

我希望有人能够找到一个简单的论据来证明这个猜想是正确的。

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