以直观的方式看到方差在$p = 0.5$， 拿$p$等于$0.99$（分别。$p = 0.01$）。然后是一个样本$X \sim \text{Bernoulli}(p)$可能会包含许多$1$的（分别。$0$'s) 和几个$0$的（分别。$1$的）。那里没有太多变化。

推论是“困难的”$p$'在中间，因为一个样本$\hat p$靠近中间的是符合更广泛的$p$. 接近终点，它不可能离得那么远——因为终点是“障碍”，越过它$p$不能走。

不过，我认为从方差角度来看，直觉更容易。

关于二项式的方差在中间大而在末端小的直觉是相当简单的：在端点附近，数据没有“散布”的空间。考虑$p$小——因为均值接近 0，所以变化不能很大——数据要平均$p$它只能远离平均值。

让我们考虑一系列伯努利试验中样本比例的方差。这里$\text{Var}(\hat p) = p(1-p)/n$. 所以抱着$n$固定的和变化的$p$, 变化要小得多$p$0附近：

二项式样本中的样本比例——这里$y$只是随机均匀；蓝色案例的平均值为 0.03，黑色的平均值为 0.5（添加了一些抖动，因此点不会堆积太多而丢失细节）

对应的概率函数：

在每种情况下，请注意标记平均值的线条。随着平均线变得更加“卡”在障碍物上，低于平均线的点只能在下面一小段距离。

因此，高于平均值的点通常不会超出平均值太远（因为否则平均值会发生变化！）。靠近$p = \frac{1}{2}$端点并没有像那里有障碍时那样真正“推高”。

我们同时看到了为什么分布必须在末端倾斜；对于随机变量$\hat p$有时甚至超过$p$在均值之上，相应地，必须有更多的概率被压扁到尽可能低于均值的程度。0 处迫在眉睫的障碍既限制了可变性，又导致了偏度。

[这种形式的直觉并没有告诉我们为什么它采用这种精确的函数形式，但它确实清楚地说明了为什么方差必须在靠近末端的地方很小，并且越靠近末端越小。]

Fisher信息是评分函数的方差。它与熵有关。对于伯努利试验，每次试验我们都会得到一个比特。因此，正如我们所期望的那样，这个 Fisher 信息具有与香农熵相似的性质。特别是熵在 1/2 处有最大值，而信息在 1/2 处有最小值。