相关矩阵不必是正定的。

考虑一个具有非零方差的标量随机变量 X。那么X与自身的相关矩阵就是全1的矩阵，是半正定的，但不是正定的。

至于样本相关性，请考虑上述样本数据，具有第一个观测值 1 和 1，以及第二个观测值 2 和 2。这导致样本相关性是所有 1 的矩阵，因此不是正定的。

如果以精确算术计算（即没有舍入误差），样本相关矩阵不能具有负特征值。

@yoki和@MarkLStone 的答案（两者都+1）都指出，如果变量是线性相关的（示例中的X_1和@yoki 的例子）。$X_1 = X_2$$X_1 = 2X_2$

除此之外，，即如果样本大小小于变量的数量，则样本相关矩阵将必然具有零特征值。在这种情况下，协方差和相关矩阵都最多为秩，因此至少有零特征值。请参阅为什么样本量小于变量数时样本协方差矩阵是奇异的？为什么协方差矩阵的秩最多为n？$n<p$$n-1$$p-n+1$$n-1$

将视为均值为 0 且方差为 1 的 rv。令，并计算的协方差矩阵。由于，和。由于零均值配置，二阶矩等于合适的协方差，例如：。$X$$Y=2X$$(X,Y)$$2X=Y$$E[Y^2]=4E[X^2]=\sigma_Y^2$$E[XY]=2E[X^2]$$\mbox{Cov}(X,Y)=E[XY]-EXEY=E[XY]$

所以协方差矩阵将是： 具有零特征值。相关矩阵将为： 特征值也为零。由于和之间的线性对应关系，很容易看出为什么我们会得到这个相关矩阵 - 对角线将始终为 1，而非对角线由于线性关系而为 1。