机器算法验证 - 如何证明乙| X− μ | ≤ E| X-是|E|X−μ|≤E|X−Y|? - 吾爱随笔录 - 问答

如何证明乙| X− μ | ≤ E| X-是|E|X−μ|≤E|X−Y|?

机器算法验证可能性自习期望值

2022-03-29 03:52:20

假设和是独立的，并且来自相同的分布，其累积分布函数为假设是可积的。 $X$ $Y$ $F$ $X$

如何显示其中 ?

E | X - μ | \leq E | X - Y |,

$E|X-\mu| \leq E|X-Y|,$

μ = E (X)

$\mu=E(X)$

我尝试使用和得到我不知道如何证明这大于。

E | X - Y | = 2 \int_{- \infty}^{\infty} F (x) (1 - F (x)) d x

$E|X-Y| = 2\int_{-\infty}^{\infty}F(x)(1-F(x))\,dx$

E | X - μ | = 2 \int_{- \infty}^{μ} F (x) d x

$E|X-\mu|=2\int^{\mu}_{-\infty}F(x)\,dx$

\frac{1}{2} [E | X - Y | - E | X - μ |] = \int_{μ}^{\infty} F (x) d x - \int_{- \infty}^{\infty} [F (x)]^{2} d x

$\frac{1}{2}[E|X-Y|-E|X-\mu|] = \int_{\mu}^{\infty}F(x)\,dx-\int_{-\infty}^{\infty}[F(x)]^2\,dx$

0

$0$

2个回答

不使用 Jensen 不等式也是可能的。

为了 $x > \mu$ ,

E (| x - Y |) \geq E (x - Y) = x - E (Y) = x - μ = | x - μ |

$E(|x-Y|) \ge E(x - Y) = x - E(Y) = x - \mu = |x - \mu|$

为了 $x \le \mu$ ,

E (| x - Y |) \geq E (Y - x) = E (Y) - x = μ - x = | x - μ |

$E(|x - Y|) \ge E(Y - x) = E(Y) - x = \mu - x = |x - \mu|$

所以对于任何值 $x$ , 条件是 $X = x$ , $E(|X - Y|) \ge E(|X - \mu|)$ .

一些提示：

定义 $\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} g(y)=\E |X-y|$ 并表明 $g$ 是一个凸函数。参见例如https://math.stackexchange.com/questions/2591194/convexity-concavity-preserving-under-integral。查找Jensen 不等式。

比较 $g(\mu)=g(\E Y)$ 和 $\E g(Y)$ .

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