非正式地，概率分布定义了随机变量结果的相对频率——期望值可以被认为是这些结果的加权平均值（由相对频率加权）。类似地，期望值可以被认为是一组数字的算术平均值，这些数字与它们的发生概率成正比（在连续随机变量的情况下，这并不完全正确，因为特定值具有概率$0$）。

期望值和算术平均值之间的联系最清楚的是离散随机变量，其中期望值是

$$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$$

在哪里$S$是样本空间。例如，假设您有一个离散随机变量$X$这样：

$$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$$

也就是说，概率质量函数是$P(X=1)=1/8$,$P(X=2)=3/8$， 和$P(X=3)=1/2$. 使用上面的公式，期望值为

$$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$$

现在考虑以与概率质量函数完全成比例的频率生成的数字 - 例如，一组数字$\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$- 二$1$s，六$2$s和八$3$s。现在取这些数字的算术平均值：

$$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$$

你可以看到它完全等于预期值。

期望是随机变量的平均值或平均值，而不是概率分布。因此，对于离散随机变量，随机变量取值的加权平均值，其中加权是根据这些单独值的相对出现频率。对于绝对连续的随机变量，它是值 x 乘以概率密度的积分。观察到的数据可以看作是一组独立同分布随机变量的值。样本均值（或样本期望）定义为数据相对于观测数据的经验分布的期望。这使得它只是数据的算术平均值。

让我们密切关注定义：

平均值定义为一组数字的总和除以该集合中的数字数量。计算将是“对于 i 在 1 到 n，（x sub i 的总和）除以 n”。

期望值（EV）是它所代表的实验重复的长期平均值。计算将是“对于 1 到 n 中的 i，事件 x sub i 的总和乘以它的概率（并且所有 p sub i 的总和必须 = 1）。”

在公平骰子的情况下，很容易看出均值和 EV 相同。平均值 - (1+2+3+4+5+6)/6 - 3.5 和 EV 将是：

概率 xp*x

0.167 1 0.17

0.167 2 0.33

0.167 3 0.50

0.167 4 0.67

0.167 5 0.83

0.167 6 1.00

EV=sum(p*x) = 3.50

但是，如果模具不“公平”怎么办。制作不公平模具的一种简单方法是在 4、5 和 6 面相交处的拐角处钻一个孔。进一步假设现在在我们改进的新弯曲骰子上掷出 4、5 或 6 的概率现在是 0.2，而掷出 1、2 或 3 的概率现在是 0.133。它是同一个骰子，有 6 个面，每面一个数字，这个骰子的平均值仍然是 3.5。然而，在多次掷骰子之后，我们的 EV 现在是 3.8，因为事件的概率不再对所有事件都相同。

概率 xp*x

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV=sum(p*x) = 3.80

同样，让我们​​小心并回到定义，然后得出结论，一件事总是与另一件事“相同”。看看普通模具是如何设置的，然后在其他 7 个角上钻一个孔，看看 EV 是如何变化的——玩得开心。

鲍勃_T

“均值”和“期望值”之间的唯一区别是均值主要用于频率分布，而期望用于概率分布。在频率分布中，样本空间由变量及其出现频率组成。在概率分布中，样本空间由随机变量及其概率组成。现在我们知道样本空间中所有变量的总概率必须=1。基本区别就在这里。期望的分母项总是=1。（即总和 f(xi) = 1） 但是对频率总和没有这样的限制（基本上是条目总数）。