机器算法验证 - 理解分数差分公式 - 吾爱随笔录

理解分数差分公式

机器算法验证时间序列有马阿菲玛

2022-03-01 08:39:32

我有一个时间序列，我想将其建模为 ARFIMA（又名 FARIMA）过程。如果是（分数）阶的积分，我想对其进行分数差分以使其静止。 $y_t$ $y_t$ $d$

问题：以下定义分数差分的公式是否正确？

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

（这里阶的分数差分。） $\Delta^d$ $d$

我的公式基于这篇关于 ARFIMA 的 Wikipedia 文章ARFIMA( ) 章，但我不确定我是否正确理解。 $0,d,0$

1个回答

是的，这似乎是正确的。分数滤波器由二项式展开定义：

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

请注意，时，无法简化此过滤器。现在考虑这个过程： $L$ $0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

展开，我们得到：

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

可以写成：

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

请参阅Stephen J. Taylor 的Asset Price Dynamics, Volatility and Prediction（2007 年版第 243 页）或Brockwell 和 Davis 的时间序列：理论和方法以获取更多参考资料。

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