零假设$H_0$单向方差分析的一个特点是所有组的均值相等：

$$H_0: \mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k.$$ 零假设$H_0$单向 MANOVA 的一个特点是所有组的 [多变量] 均值相等：这相当于说每个响应变量的均值相等，即您的第一个选项是正确的。 $$H_0: \boldsymbol \mu_1 = \boldsymbol \mu_2 = ... = \boldsymbol \mu_k.$$

在这两种情况下，备择假设都是对原点的否定。在这两种情况下，假设是 (a) 组内高斯分布，和 (b) 跨组的相等方差（对于 ANOVA）/协方差矩阵（对于 MANOVA）。$H_1$

MANOVA和ANOVA之间的区别

这可能看起来有点令人困惑：MANOVA 的原假设与单变量 ANOVA 集合的原假设组合完全相同，但同时我们知道进行 MANOVA 并不等同于进行单变量 ANOVA，然后以某种方式“组合”结果（可以想出各种组合方式）。为什么不？

答案是运行所有单变量 ANOVA，即使会检验相同的零假设，其功效也会降低。请在此处查看我的答案以获取说明：当单变量 ANOVA 均未达到显着性时，MANOVA 如何报告显着差异？“组合”的幼稚方法（如果至少有一个 ANOVA 拒绝零，则拒绝全局零）也会导致 I 类错误率的巨大膨胀；但即使一个人选择了一些聪明的“组合”方式来保持正确的错误率，一个人也会失去力量。

测试如何工作

ANOVA 将总平方和分解为组间平方和和组内平方和，因此。然后它计算比率。在原假设下，这个比率应该很小（大约）；可以计算出在原假设下预期的该比率的确切分布（它将取决于和组数）。将观察到的值与此分布进行比较会产生 p 值。$T$$B$$W$$T=B+W$$B/W$$1$$n$$B/W$

MANOVA 将总散布矩阵分解为组间散布矩阵和组内散布矩阵，使得。然后它计算矩阵。在原假设下，这个矩阵应该是“小”的（在附近）；但是如何量化它有多“小”呢？MANOVA 查看这个矩阵的特征值（它们都是正的）。同样，在原假设下，这些特征值应该是“小”（大约$\mathbf T$$\mathbf B$$\mathbf W$$\mathbf T = \mathbf B + \mathbf W$$\mathbf W^{-1} \mathbf B$$\mathbf{I}$$\lambda_i$$1$）。但是要计算 p 值，我们需要一个数字（称为“统计量”）以便能够将它与它在 null 下的预期分布进行比较。有几种方法可以做到：取所有特征值的；取最大特征值等。在每种情况下，将这个数字与在 null 下预期的这个数量的分布进行比较，从而得到一个 p 值。$\sum \lambda_i$$\max\{\lambda_i\}$

检验统计量的不同选择会导致 p 值略有不同，但重要的是要认识到在每种情况下都在检验相同的零假设。

是前者。

但是，它的方式并不是逐个比较每个原始变量的均值。相反，响应变量以与主成分分析非常相似的方式进行线性变换。（这里有一个关于 PCA 的优秀主题：理解主成分分析、特征向量和特征值。）不同之处在于 PCA 将轴定向以与最大变化的方向对齐，而 MANOVA 将轴旋转到以下方向最大限度地分离您的组。

需要明确的是，与 MANOVA 相关的所有测试都不是在直接意义上一个接一个地测试所有均值，无论是原始空间中的均值还是转换空间中的均值。有几种不同的测试统计量，每种统计量的工作方式略有不同，但它们倾向于对变换空间的分解的特征值进行操作。但就原假设的性质而言，所有组的所有均值在每个响应变量上都是相同的，并不是说它们在某些变量上可以不同，但​​在至少一个变量上是相同的。