正如您所发现的，当方差分量之一被估计为零时，就会发生这种情况。这通常有以下两种解释之一：

• 随机效应结构过拟合——通常是因为随机斜率太多

• 多个方差分量之一实际上非常接近于零，并且没有足够的数据来估计它高于零。

显然，第一种情况与您的数据不同，因为您只有随机截取。

因此，随机截距的实际变化很可能group_id非常接近于零。如果是，那么只有 5 个组，软件可能无法估计零以上的方差。

如果通过绘制数据，这是一个很好的起点：

我们已经可以看到，与组内的变化相比，组均值的变化很小。

我们可以通过三种方式（至少）更正式地对此进行调查：

首先，让我们看一下每组数据的均值：

library(tidyverse)
data %>% group_by(group_id) %>% summarize(mean = mean(y))

## 1         8.85
## 2         9.65
## 3         8.84
## 4         7.70
## 5         8.17

请注意，所有组之间的差异很小，但请注意第 1 组和第 3 组的平均值几乎相同。让我们删除第 1 组，看看会发生什么：

data %>% filter(group_id != 1) %>% lmer(y ~ 1 + (1|group_id), data = .) %>% summary()

## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev.
##  group_id (Intercept) 0.03789  0.1947  
##  Residual             6.75636  2.5993  
## Number of obs: 40, groups:  group_id, 4

## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error t value
## (Intercept)   8.5885     0.4224   20.34

所以模型收敛没有奇异性，但方差分量group_id非常小，正如我们所怀疑的那样。

接下来，我们可以为group_id组件添加一些额外的方差。这样做的问题在于，只有 5 个组，如果我们要从rnorm(5, 0, 1)（标准差为 1）中抽取 5 个观察值，样本标准差可能不会接近 1，而平均值可能不会接近接近于零。解决这个问题的一个好方法是使用蒙特卡罗模拟（基本上只需多次进行并取平均值）。

在这里，我们将进行 100 次模拟：

n.sim <- 100
simvec_rint <- numeric(n.sim)  # vector to hold the random intercepts variances
simvec_fint <- numeric(n.sim)  # vector to hold the fixed intercepts

for (i in 1:n.sim) {
  set.seed(i)
  data$y1 = data$y + rep(rnorm(5, 0, 1), each = 10)
  m0 <- lmer(y1 ~ 1 + (1|group_id), data = data)

  if (!isSingular(m0)) {
    # If the model is not singular then extract the random and fixed effects
    VarCorr(m0) %>% as.data.frame() %>% pull(vcov) %>% nth(1) -> simvec_rint[i]
    summary(m0) %>% coef() %>% as.vector() %>% nth(1) -> simvec_fint[i]
  } else {
    simvec_rint[i] <- simvec_fint[i] <- NA
  }
}

因此，我们向方差为 1 的组添加了随机噪声。蒙特卡罗估计值为：

> mean(simvec_rint, na.rm = TRUE)
[1] 1.116416
> mean(simvec_fint, na.rm = TRUE)
[1] 8.637063

注意：

• 随机截距的方差为 1.12。然而，我们已经向等于 1 的组添加了方差，因此这意味着原始数据中随机截距的方差接近于零，正如我们所怀疑的那样。

• 固定截距为 8.64，与原始数据拟合的模型基本相同。

最后，让我们看一个没有随机效应的模型，它显然只是一个 ANOVA：

> aov(y ~ group_id, data = data) %>% summary()
            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
group_id     4   22.0   5.489   0.763  0.555
Residuals   45  323.6   7.190      

因此，几乎没有证据表明这 5 个组的均值彼此不同。另一种看待这个问题的方法是：

> lm(y ~ group_id, data = data) %>% summary()

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   8.8510     0.8479  10.438 1.33e-13 ***
group_id2     0.7950     1.1992   0.663    0.511    
group_id3    -0.0150     1.1992  -0.013    0.990    
group_id4    -1.1490     1.1992  -0.958    0.343    
group_id5    -0.6810     1.1992  -0.568    0.573    

因此，也很少有证据表明第 2、3、4 和 5 组具有与第 1 组不同的均值。这两个模型都与混合模型中随机截距的非常小的变化一致。

因此，综上所述，在这种情况下，我们可以得出结论，由于组数较少且组间估计的变化较小，软件无法估计零以上的随机截距变化，因此模型是奇异，尽管模型估计似乎是可靠的。