这些术语出现在一些关于多元统计的书籍中。假设你有个体，由个定量特征数据矩阵组成。然后，您可以将个人绘制为空间中以轴为特征的点。这将是经典的散点图，也就是可变空间图。我们说，个体云跨越了由轴特征定义的空间。$n$$p$

您也可以设想散点图，其中点是变量，轴是个体。完全像以前一样，只是颠倒过来。这将是主题空间图（或观察空间图），其中包含跨越它的变量，定义它的个人。

请注意，如果（通常），那么在第二种情况下，只有维是非冗余的；这意味着您可以并且可以维图变量点。此外，根据传统，变量点通常与原点相连，因此它们显示为矢量（箭头）。我们主要使用主题空间表示来显示变量之间的关系，因此为了方便起见，我们删除了轴主题并将点描绘为箭头。$n>p$$p$$n$$p$$p$$^1$

如果在绘制主题空间图之前将特征（数据矩阵的列）居中，则变量向量之间角度的余弦等于它们的 Pearson 相关性，而向量长度等于变量的范数（平方根和） ) 或标准偏差（如果除以df）。

变量空间和主体空间是同一枚硬币的两个面，它们是同一个欧几里得分析空间，只是相互映照而已。它们共享相同的属性，例如非零特征值和特征向量。因此，可以将主题和变量并排绘制为该分析空间的主轴（或其他正交基）空间中的点， - 这种联合图称为biplot。我不知道“数据空间”这个词到底是什么意思——如果它意味着特定的东西，那么我想它是主题空间和变量空间是两个实体的公共分析空间。

一些本地链接：

• 图片显示主成分 (PCA) 与线性回归的主题空间表示（与回归和 PCA的传统变量空间（散点图）表示进行比较），因子分析与 PCA （再次与因子分析与 PCA的变量空间表示进行比较）回归、偏相关、相关、回归b与相关、协方差与共同方差、抑制因子。
• 双图的理论解释。一篇解释PCA中双图结构的自学。
• 另请参阅一篇文章，试图弄清楚是否可以在主题空间图上以几何方式解决PCA 任务（似乎 PC 定义了椭圆；但是如何找到那个唯一的椭圆？）。

$^1$想象一下，您有n=5个人和p=2变量，并且您以某种方式神奇地在 5 维空间中绘制了 2 个点。然后，您可以旋转由任意 2 个轴定义的子空间，使其嵌入 2 个点（因此从现在开始跨越该平面）；之后，您安全地放下其他 3 个轴（尺寸），因为它们已变得不必要。两个变量点的相对位置被保留。