几何分布由下式给出：

$$p(X|\theta)=(1-\theta)^{X-1}\theta \;\;\; X=1,2,3,\dots$$

因此，对数似然由下式给出：

$$\log[p(X|\theta)]=L=(X-1)\log(1-\theta)+\log(\theta)$$

区分一次：

$$\frac{\partial L}{\partial \theta}=\frac{1}{\theta}-\frac{X-1}{1-\theta}$$

然后再次：

$$\frac{\partial^{2} L}{\partial \theta^{2}}=-\frac{1}{\theta^{2}}-\frac{X-1}{(1-\theta)^{2}}$$

取这个条件对的负期望（称为 Fisher 信息），注意$\theta$$E(X|\theta)=\frac{1}{\theta}$

所以我们有：

$$I(\theta)=\frac{1}{\theta^{2}}+\frac{\theta^{-1}-1}{(1-\theta)^{2}}=\theta^{-2}\left(1+\frac{\theta}{1-\theta}\right)=\theta^{-2}(1-\theta)^{-1}$$

杰弗里斯先验由以下的平方根给出：

$$p(\theta|I) \propto \sqrt{I(\theta)}=\theta^{-1}(1-\theta)^{-\frac{1}{2}}$$