我正在学习最大似然估计。

根据这篇文章，正态分布的 PDF 日志如下所示：

$$\log{\left(f\left(x_i;\,\mu,\sigma^2\right)\right)} = - \frac{n}{2} \log{\left(2 \pi\right)} - \frac{n}{2} \log{\left(\sigma^2\right)} - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum{{\left(x_i - \mu\right)}^2} \tag{1}$$

根据任何概率论教科书，正态分布的 PDF 公式：

$$\frac {1}{\sigma \sqrt {2\pi}} e^{-\frac {(x - \mu)^2}{2\sigma ^2}} \rlap{\qquad \text{where}~-\infty <x<\infty} \tag{2}$$

取表达式 2 的对数产生

$$\begin{align} \ln\left(\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi}} e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\sigma ^2}}\right) &= \ln\left(\frac {1}{\sigma \sqrt {2\pi}}\right)+\ln{\left(e^{-\frac {(x - \mu)^2}{2\sigma ^2}}\right)} \tag{3} \\[5px] &=-\ln\left(\sigma\right)-\frac{1}{2} \ln\left(2\pi\right) - \frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\sigma ^2} \tag{4} \end{align}$$

这与等式 1 非常不同。

等式 1 对吗？我错过了什么？