当 Y 被绘制在$\frac{1}{X}$，我看到两者之间存在线性关系（上升趋势）。现在，这也意味着 Y 和 X 之间存在线性下降趋势

最后一句话错了：有下降趋势，但绝不是线性的：

我用了一个$f(x) = \frac{1}{x}$作为功​​能加上一点噪音$Y$. 如您所见，在绘图时$Y$反对$\frac{1}{X}$产生线性行为，$Y$反对$X$远非线性。

（@whuber 指出$Y$反对$\frac{1}{X}$情节看起来不是同调的。我认为它似乎有较低的方差$Y$因为更高的案例密度导致更大的范围，这基本上是我们所感知的。实际上，数据是同方差的：我曾经Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1)生成数据，所以不依赖于大小$X$.)

所以总的来说，这种关系是非常非线性的。也就是说，除非你的范围$X$太窄了，你可以近似$\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$这是一个例子：

底线：

• 一般来说，很难近似 $\frac{1}{X}$型函数由线性或多项式函数。如果没有偏移项，您将永远无法获得合理的近似值。
• 如果$X$间隔足够窄以允许线性近似，无论如何您都无法从数据中猜测关系应该是$\frac{1}{X}$并且不是线性的（$X$）。

我认为他们没有理由“大致相等”——但你所说的大致相等到底是什么意思？

这是一个玩具示例：

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

图片：

如果允许“蓝色”模型有一个截距（即常数）项，它会做得更好......