要获得变分目标，请从边际似然开始：

$p(x) = \int p(x, z) dz = \int \frac{q(z)}{q(z)} p(x,z) dz$

认识到这是一种期望：

$= \mathbb E_q [\frac{p(x,z)}{q(z)}]$

使用 Jensen 不等式

$\ln p(x) \geq \mathbb E_q [\ln \frac{p(x,z)}{q(z)}]$

使用对数的条件概率和属性的 def：

$= \mathbb E_q [\ln p(x|z) + \ln p(z) - \ln q(z)]$

使用 KL 散度的 def：

$= \mathbb E_q [\ln p(x|z)] - KL(q||p)$

洒一些$\theta$和$\phi$视情况而定，我们有所需的格式。的调理$z$在$x$在他们的符号中$q_\phi(z|x)$ 恕我直言，有点不必要和令人困惑，因为$q$选择以最小化与后验的分歧（尽管我知道他们正在标记它是后验而不是先验的近似值）。

虽然上面的答案是完全正确的，但你可以通过玩弄 KL 散度来得出相同的结论。请参阅我的详细答案以及有关 VI 的一些不错的参考资料。

作为旁注，联合$q(x,z)$可能没有定义，但他们使用$q(z|x)$暗示对数据的依赖。他们在原始论文中选择的示例（Gaussian multivariate with the mean$\mu$根据$x$) 可能对他们为什么使用他们使用的符号更有意义。