机器算法验证 - 当变量表现出完美的同时相关性时，多元中心极限定理 (CLT) 是否成立？ - 吾爱随笔录

当变量表现出完美的同时相关性时，多元中心极限定理 (CLT) 是否成立？

机器算法验证正态分布多元分析独立中心极限定理联合分配

2022-03-19 00:52:49

标题总结了我的问题，但为了清楚起见，请考虑以下简单示例。让 $X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ ,。定义：和 我的问题：即使和时完全依赖，做和收敛到联合正态分布为？ $i = 1, ..., n$

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$

T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$

S_{n}

$S_n$

T_{n}

$T_n$

n = 1

$n = 1$

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

动机：我提出这个问题的动机源于这样一个事实，即和完全依赖，这感觉很奇怪（但很棒），但多元 CLT 的含义是它们接近独立性为（这将遵循因为和对于所有都不相关，因此如果它们是渐近联合法线，那么它们也必须是渐近独立的）。 $S_n$ $T_n$ $n = 1$ $n \rightarrow \infty$ $S_n$ $T_n$ $n$

提前感谢您的任何答案或评论！

ps，如果你能提供任何参考等，那就更好了！

2个回答

据我了解，您的 q 的简短回答是“是的，但是......” S、T 和任何其他时刻的收敛速度不一定相同 - 请查看Berry-Esseen Theorem的确定界限。

万一我误解了你的 q，Sn 和 Tn 甚至在弱依赖（混合）的条件下坚持 CLT：查看 Wikipedia's CLT fordependent processes。

CLT 就是这样一个一般定理——基本证明只需要Sn 和 Tn 的特征函数收敛到标准正态的特征函数，然后Levy 连续性定理说特征函数的收敛意味着分布的收敛。

John Cook在这里对 CLT 错误提供了很好的解释。

当然，这并不能证明任何事情，但我总是发现进行模拟和绘制图表对于理解理论结果非常方便。

这是一个特别简单的案例。我们生成随机正态变量并计算和；重复次。 1、10、100和的图表。的增加，很容易看到依赖性减弱；在时，该图几乎无法与独立性区分开来。 $n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

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