问题

我对 Laplacian Eigenmaps 方法非常感兴趣。目前，我正在使用它对我的医疗数据集进行降维。

但是，我在使用该方法时遇到了问题。

例如，我有一些数据（频谱信号），我可以使用 PCA（或 ICA）来获取一些 PC（或 IC）。问题是如何使用 LE 获得原始数据的相似降维分量？

根据拉普拉斯特征映射方法，我们需要解决广义特征值问题，即

$L y = \lambda D y$

这里是特征向量。如果我绘制例如前 3 个特征向量（根据 3 个特征值的解），则结果不可解释。$y$

但是，当我绘制前 3 台 PC 和前 3 台 IC 时，结果似乎总是清楚地（视觉上）代表原始数据。$x$

我假设原因是因为矩阵由权重矩阵（邻接矩阵）定义，并且数据已与热核拟合以创建，它使用指数函数。我的问题是如何检索的简化分量（不是矩阵）？$L$$W$$x$$W$$x$$y$$L$

数据

我的数据集受到限制，不容易证明问题​​。在这里，我创建了一个玩具问题来展示我的意思和我想问的问题。

请看图，

首先，我创建了一些正弦波 A、B、C，以红色曲线显示（图的第一列）。A、B 和 C 有 1000 个样本，换句话说，保存在 1x1000 个向量中。

其次，我使用随机创建的线性组合混合源 A、B、C，例如，其中是随机值。混合信号处于非常高维空间中，例如，1517 是随机选择的高维空间。我在绿色曲线中只显示了前三行信号 M（图的第二列）。$M = r_1*A + r_2*B + r_3*C$$r_1, r_2, r_3$$M$$M \in R^{1517\times1000}$

接下来，我运行 PCA、ICA 和拉普拉斯特征图来获得降维结果。我选择使用 3 个 PC、3 个 IC 和 3 个 LE 进行公平比较（蓝色曲线分别显示为图中的第 3 列、第 4 列和最后一列）。

从 PCA 和 ICA 的结果（图中第 3、4 列）可以看出，我们可以将结果解释为某种降维，即对于 ICA 结果，我们可以通过（我不确定我们是否也可以得到的 PCA 结果，但结果似乎很适合我）。$M = b_1*IC1 + b_2*IC2 + b_3*IC3$$M = a_1*PC1 + a_2*PC2 + a_3*PC3$

但是，请看 LE 的结果，我几乎无法解释结果（图的最后一列）。减少的组件似乎有些“错误”。另外，我想提一下，最后一列的图最终是公式$y$$L y = \lambda D y$

你们有更多的想法吗？

图 1 使用 12 个最近邻，加热内核中的 sigma 为 0.5：

图 2 使用 1000 个最近邻，加热内核中的 sigma 为 0.5：

源代码：带有所需包的Matlab代码