假设我有两组质量测量值（以 mg 为单位），分别称为 y1 和 y2。我想做一个测试，以确定这两个样本是否来自具有不同平均值的人群。例如这样的东西（在 R 中）：
y1 <- c(10.5,2.9,2.0,4.4,2.8,5.9,4.2,2.7,4.7,6.6)
y2 <- c(3.8,4.3,2.8,5.0,9.3,6.0,7.6,3.8,6.8,7.9)
t.test(y1,y2)
我得到一个 0.3234 的 p 值，在 0.05 的显着性水平上，不要拒绝两组来自具有相同平均值的总体的原假设。现在我为每个测量给出了不确定性：
u1 <- c(2.3,1.7,1.7,1.7,2.0,2.2,2.1,1.7,2.3,2.2)
u2 <- c(2.4,1.8,1.6,2.3,2.5,1.8,1.9,1.5,2.3,2.3)
其中 u1[1] 是测量 y1[1] 中的组合标准不确定度（以此类推）。如何将这些不确定性纳入统计检验？
听起来您想进行加权分析。请参阅SAS 文档的“概念”部分中的“加权统计示例” 。
为什么不模拟呢？也就是说，将您的不确定性作为噪声的实现添加到每个观察中。然后重复假设检验。这样做大约 1000 次，看看 null 被拒绝了多少次。您将需要选择噪声的分布。正常似乎是一种选择，但它可能会产生负面观察，这是不现实的。
您可以将其转换为回归问题并将不确定性用作权重。也就是说，从回归中的测量中预测组（1 或 2？）。
但
不确定性几乎是恒定的，因此使用它们似乎也不会发生太大变化。
您在 10.5 处有一个温和的异常值，这通过减少均值之间的差异使事情复杂化。但是，如果您可以相信不确定性，那么该值就不会比其他任何值更令人怀疑。
t 检验不知道您的替代假设是两个样本来自不同的总体。它所知道的只是在某些假设下比较手段。基于排名的测试是一种替代方法，但如果您对这些数据作为衡量标准感兴趣，那么它们听起来并不适合您的目标。
在普通最小二乘法（例如，lm(y~x)）中，您允许在给定 x 值的情况下围绕 y 值进行可变性（不确定性）。如果围绕 (lm(x~)) 翻转回归，则可以最小化 x 附近的误差。在这两种情况下，都假定误差是相当均匀的。
如果您知道响应变量的每个观测值的方差量，并且当按 x 排序时该方差不是恒定的，那么您将需要使用加权最小二乘法。您可以通过因子 1/（方差）对 y 值进行加权。
如果您担心 x 和 y 都具有不确定性，并且两者之间的不确定性不相同，那么您不想简单地最小化垂直于您的轴之一的残差（地址不确定性）。理想情况下，您会最小化垂直于拟合趋势线的不确定性。为此，您可以使用 PCA 回归（也称为正交回归或总最小二乘法。有用于 PCA 回归的 R 包，并且以前在此网站上已发布过有关此主题的帖子，然后在其他地方也进行了讨论. 此外，我认为（即，我可能错了......）你仍然可以利用你对方差的了解来做这个回归的加权版本。