我怀疑您是否可以提出具有分析解决方案的模型，但是由于模型的依赖结构很简单，因此使用正确的工具仍然可以使推理易于处理。作为一名机器学习研究人员，我更喜欢使用以下模型，因为使用期望传播技术可以非常有效地进行推理：

令为第次试验的结果。让我们定义时变参数$X(t)$$t$

$\eta(t+1) \sim \mathcal{N}(\eta(t), \tau^2)$对于。$t \geq 0$

要将与联系起来，请引入潜在变量$\eta(t)$$X(t)$

$Y(t) \sim \mathcal{N}(\eta(t), \beta^2)$ ,

和模型是$X(t)$

$X(t) = 1$如果，。您实际上可以忽略并将它们边缘化，只说，（使用 cdf标准正常），但潜在变量的引入使推理变得容易。另外，请注意，在你原来的参数化。$Y(t) \geq 0$$X(t) = 0$$Y(t)$$\mathbb{P}[X(t)=1] = \Phi(\eta(t)/\beta)$$\Phi$$\theta(t) = \eta(t)/\beta$

如果您对实现推理算法感兴趣，请查看这篇论文。他们使用非常相似的模型，因此您可以轻松地调整算法。要了解 EP，以下页面可能会很有用。如果您有兴趣采用这种方法，请告诉我；我可以就如何实现推理算法提供更详细的建议。

为了详细说明我的评论，诸如 p(t)=p exp(-t) 之类的模型很简单，并且允许通过使用最大似然估计但是概率真的呈指数衰减吗？如果您观察到的成功频率高于您在之前和之后观察到的时间段，那么这个模型显然是错误的。振荡行为可以建模为 p(t)= |。两种模型都非常易于处理，并且可以通过最大似然法求解，但它们给出的解决方案非常不同。$_0$$_0$$_0$

您的概率随而变化，但正如迈克尔所说，您不知道如何。线性与否？它看起来像一个模型选择问题，您的概率：$t$$p$

$p=\Phi(g(t,\theta))$可能取决于高度非线性的函数。只是一个保证概率在 0 到 1 之间的边界函数。$g(t,\theta)$$\Phi$

一个简单的探索性方法是使用不同的非线性尝试几个概率，根据标准信息标准执行$\Phi$$g()$$g()$

要回答您重新编辑的问题：

正如您所说，使用概率仅意味着数值解，但您可以使用逻辑函数：

逻辑函数：$P[\theta(t+1)] = \frac{1}{1+\exp{(\theta(t)+\epsilon)}}$

线性化：$\log{\frac{P}{1-P}} = \theta(t)+\epsilon$

我不确定这在卡尔曼滤波器方法下如何工作，但仍然相信像或许多其他没有随机项的非线性规范会做这项工作。正如你所看到的，这个函数是“平滑的”，因为它是连续的和可微的。不幸的是，添加会产生结果概率的跳跃，这是你不想要的，所以我的建议是。$\theta(t+1)=a t^3 +bt^2+ct + d$$\epsilon$$\epsilon$

对数概率：$P[Coin_{t+1}=H | t] = \frac{1}{1+\exp{(\theta(t))}}$

您已经在伯努利事件（马尔可夫链）中有随机数，并且由于 ，您正在添加它的额外来源。因此，您的问题可以通过最大似然估计的概率或 Logit 来解决，其中作为解释变量。我想你同意简约是非常重要的。除非您的主要目标是应用给定的方法（HMM 和卡尔曼滤波器），而不是为您的问题提供最简单的有效解决方案。$\epsilon$$t$