狄拉克三角洲在方便的时候被认为是高斯分布，而当这个观点需要我们做出例外时则不这样认为。

例如，是实数的所有选择的高斯随机变量，则称 (X_1, X_2, \ldots, X_n)享受 多元高斯分布。（注意：这是“高级”统计中的标准定义）。由于一个选择是，标准定义将常数（退化随机变量）视为高斯随机变量（均值和方差）。另一方面，当我们考虑类似的东西时，我们忽略了将狄拉克三角洲视为高斯分布$(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$\sum_i a_iX_i$$a_1, a_2, \ldots, a_n$$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$$0$$0$

的零均值高斯随机变量的累积概率分布函数 (CDF)为 其中是标准高斯随机变量的 CDF。"$\sigma$

$$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$$ $\Phi(\cdot)$

请注意，（因此作为高斯随机变量） 的零均值高斯随机变量序列的极限情况，则该陈述几乎是正确的，但并不完全正确。狄拉克三角洲的 CDF对于而$0$$1$$x \geq 0$

$$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$$ 但是，很多人会告诉你，将狄拉克三角洲视为高斯分布纯粹是胡说八道，因为他们的书说高斯随机变量的方差必须是正数（其中一些人会否决这个答案以显示他们的不满）。几年前在 stats.SE 上对这一点进行了非常激烈和富有启发性的讨论，但不幸的是，它只是在答案的评论中（我相信是@Macro）而不是作为个人答案，我再也找不到它了.

delta 函数符合分布的数学理论（这与概率分布理论完全不同，这里的术语再混乱不过了）。

本质上，分布是广义函数。它们不能像函数一样被评估，但可以被集成。更准确地说，分布定义如下$D$

令为测试函数的集合。一个测试函数是一个真实的、诚实的函数，平滑，具有紧凑的支持。一个分布是一个线性映射$T$$\theta$$D: T \rightarrow \mathbb{R}$

诚实函数通过积分算子确定分布$f$

$$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$$

有些分布与真实函数无关，狄拉克算子就是其中之一

$$\delta(\theta) = \theta(0)$$

从这个意义上说，您可以将狄拉克视为正态分布的极限情况。如果是均值为零且方差的 pdf 正态分布族，则对于任何测试函数$N_t$$t$$\theta$

$$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

这可能更常见地表示为

$$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

数学家会认为这是对符号的滥用，因为表达式实际上没有任何意义。但话又说回来，我是谁来批评狄拉克，谁是最好的。$\delta(x)$

当然，这是否使狄拉克成为正态分布家族的成员是一个文化问题。在这里，我只是给出一个理由，为什么考虑它可能是有意义的。

不，它不是正态分布的子类。

我认为混淆来自狄拉克函数的一种表示。请记住，它的定义如下：

$$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$$ $$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$$

它被定义为一个积分，这很好，但有时您需要通过函数表示而不是积分来操作它。于是，人们想出了各种各样的替代方案，其中一个看起来像高斯密度：

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

然而，这不是唯一的表示，例如有这个：

$$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$$

因此，最好根据积分定义来考虑狄拉克函数，并将函数表示，例如高斯，作为方便的工具。

更新到@whuber 的观点，一个更好的例子是这个狄拉克三角洲的表示：

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$$

这看起来像拉普拉斯分布吗？我们不应该把狄拉克三角洲看作拉普拉斯分布的一个子类吗？