请注意，您在问题中使用的有界定义是非标准的。我会说你的发行版有紧凑的支持。任何状况之下...

这是一个证明定义均值的积分存在的证据。

假设是一个随机变量，其尾部被截断，如您指定的那样。取为的密度函数（如果我们愿意，我们可以使用 CDF 来代替，这将给出一个稍微更一般的证明）。然后根据您的假设，有一些区间在其之外，函数完全相同为零。在这个区间内，密度函数是非负的，根据其通常的性质。$X$$f$$X$$[-A, A]$$f$

积分存在且是有限的，它等于一。因此，我们可以绑定：$\int_{-A}^{A} f(x) dx$

$$\int_{-A}^{A} \left| x f(x) \right| dx \leq \int_{-A}^{A} A f(x) dx = A \int_{-A}^{A} f(x) dx \leq A$$

因此，函数由区间上的可积函数支配。根据支配收敛定理，立即得出上是可积的，并且积分是有限的（由的积分限制，该积分由限制）。$x f(x)$$A f(x)$$[-A, A]$$x f(x)$$[-A, A]$$A f(x)$$A$

最后，由于在指定区间之外为零，因此我们可以观察到：$f$

$$\int_{-A}^A x f(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$

完成事情。

确实，所有有界随机变量都有明确的期望。请参阅 https://kurser.math.su.se/pluginfile.php/9291/mod_resource/content/1/lecture-5e.pdf（第和页）。$4$$5$

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对于无界随机变量，问题是不正确的积分问题。确实是密度的行为，因为参数转到导致某些分布（例如 Cauchy 分布）的不可积性，如本文未定义矩的解释部分所述： https://en .wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution。$\pm \infty$