让我们假设$r_i$, 列表元素的排名$i$, 有一个值$\{0, 1, \ldots, n-1\}$对于一个列表$n$元素（可以随机打破关系）。然后我们可以定义选择的概率$i$成为：

$$p_i = \frac{\alpha^{r_i}}{\sum_{k=1}^n \alpha^{r_k}}$$

这基本上只是一个适当归一化的截断几何分布，它也与Softmax 函数有关。在特殊情况下$\alpha=0$, 使用约定$0^0 = 1$. 请注意，分母总是可以写成简单的封闭式表达式。为了$\alpha < 1$它需要价值$\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha}$，并且对于$\alpha=1$它需要价值$n$.

和$\alpha=1$，很明显，这只是为每个元素分配相等的概率。作为$\alpha\rightarrow 0$，这种方法将所有概率质量赋予第一个元素。

在包含 10 个元素的列表中，您要求的大致指数减少很明显$\alpha=0.5$：

$$p_0 \approx 0.5005 \\ p_1 \approx 0.2502 \\ p_2 \approx 0.1251 \\ p_3 \approx 0.0626 \\ p_4 \approx 0.0313 \\ p_5 \approx 0.0156 \\ p_6 \approx 0.0078 \\ p_7 \approx 0.0039 \\ p_8 \approx 0.0020 \\ p_9 \approx 0.0010$$

下面绘制了第一个元素被选中的概率如何变化$\alpha$，使用长度为 10 的列表。

我将尝试从第一原则构建一个示例。

让我们以三个分布作为我们的构建块：

• P 是将概率 1 分配给列表的第一个元素，将 0 分配给所有其他元素的分布。
• E 是分布分配概率$\frac{1}{2}$到列表的第一个元素，$\frac{1}{4}$到下一个，以此类推。由于列表是有限的，因此这些不会总和$1$，但我们可以归一化以获得概率分布。
• U 是列表上的均匀分布。

现在我们要采用这些分布的正凸组合的单参数族

$$\alpha(t) P + \beta(t) E + \gamma(t) U$$

在哪里$\alpha(t) + \beta(t) + \gamma(t) = 1$对全部$t \in [0, 1]$，具有额外的属性$\alpha(0) = 1$和$\gamma(1) = 1$.

在几何上，我们想要$(\alpha(t), \beta(t), \gamma(t))$在点之间的等边三角形中画出一条曲线$(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$从第一个角开始，到最后一个角结束。此外，由于我们希望分布在中间时间看起来“指数”，我们希望曲线有时占据三角形的内部$t \in (0, 1)$.

这是曲线的一个选项：

$$(1 - t(1-t)) \left(1 - t, 0, t \right) + t(1 - t) \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$$

我从我们想要的属性逆向构建了这个工作。曲线$(1-t, 0, t)$沿着起始顶点和结束顶点之间的三角形边缘运行。公式的其余部分只是这条边曲线和单点的凸和$\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$，有时会将曲线沿边缘推入内部$t \in (0, 1)$.