几乎任何双变量 copula 都会产生一对具有一些非零相关性的正态随机变量（有些会给出零，但它们是特殊情况）。他们中的大多数（几乎所有）都会产生非正常的总和。

在某些 copula 族中，可以产生任何所需的（总体） Spearman相关；困难仅在于找到正常边距的 Pearson 相关性；原则上是可行的，但一般来说代数可能相当复杂。[但是，如果您有总体 Spearman 相关性，则 Pearson 相关性 - 至少对于像高斯这样的轻尾边距 - 在许多情况下可能不会离它太远。]

除了红衣主教情节中的前两个例子外，所有例子都应该给出非正态总和。

一些例子——前两个与红衣主教的例子二元分布的第五个来自同一个系词家族，第三个是退化的。

示例 1：

克莱顿 copula ( )$\theta=-0.7$

在这里，总和非常明显地达到峰值并且相当强烈的右偏

$\ $

示例 2：

克莱顿系词 ( )$\theta=2$

这里的总和有轻微的左偏。以防万一这对每个人来说都不是很明显，在这里我翻转了分布（即，我们有一个淡紫色$-(x+y)$

$\hspace{1cm}$

$\ $

我们可以很容易地互换总和的偏斜方向，使负相关与左偏斜相关，而与右偏斜正相关（例如，通过在每个和上述情况 - 新变量的相关性将与以前相同，但总和的分布将翻转为 0，扭转偏度）。$X^*=-X$$Y^*=-Y$

另一方面，如果我们只是否定其中一个，我们将改变偏度强度与相关符号之间的关联（但不是它的方向）。

还值得尝试一些不同的 copula，以了解二元分布和正态边距会发生什么。

可以对带有 t-copula 的高斯边距进行实验，而不必过多担心 copula 的细节（从相关二元 t 生成，这很容易，然后通过概率积分变换转换为均匀边距，然后通过逆正常 cdf）。它将有一个非正态但对称的和。所以即使你没有很好的 copula-packages，你仍然可以相当容易地做一些事情（例如，如果我试图在 Excel 中快速显示一个示例，我可能会从 t-copula 开始）。

--

示例 3：（这更像是我最初应该开始的）

考虑一个基于标准统一的 copula ，让对于和对于。结果对于和具有均匀的边距，但二元分布是退化的。将两个边距转换为正常，我们得到的分布，如下所示：$U$$V=U$$0\leq U<\frac{1}{2}$$V=\frac{3}{2}-U$$\frac{1}{2}\leq U\leq 1$$U$$V$$X=\Phi^{-1}(U), Y=\Phi^{-1}(V)\,$$X+Y$

在这种情况下，它们之间的相关性约为 0.66。

同样，和是具有（在这种情况下，明显地）非正态总和的相关正态 - 因为它们不是双变量正态。$X$$Y$

[人们可以通过翻转的中心（在，对于），以获得。这些将在 0 处有一个尖峰，然后在其两侧有一个间隙，带有正常的尾巴。]$U$$(\frac{1}{2}-c,\frac{1}{2}+c)$$c$$[0,\frac{1}{2}]$$V$

一些代码：

library("copula")
par(mfrow=c(2,2))

# Example 1
U <- rCopula(100000, claytonCopula(-.7))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
       col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
       main="Bivariate distribution")
text(-3,-1.2,"cor = -0.68")
text(-2.5,-2.8,expression(paste("Clayton: ",theta," = -0.7")))

第二个例子：

#--
# Example 2:
U <- rCopula(100000, claytonCopula(2))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
    col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
    main="Bivariate distribution")
text(3,-2.5,"cor = 0.68")
text(2.5,-3.6,expression(paste("Clayton: ",theta," = 2")))
#
par(mfrow=c(1,1))

第三个例子的代码：

#--
# Example 3:
u <- runif(10000)
v <- ifelse(u<.5,u,1.5-u)
x <- qnorm(u)
y <- qnorm(v)
hist(x+y,n=100)

我想出了一个例子。X是标准正态变量，Y=-X。那么X+Y=0，就是常数。谁能确认这是一个反例？

我们知道如果 X,Y 是共同正态的，那么它们的总和也是正态的。但是如果它们的相关性是-1呢？

我对此有点困惑。谢谢。