是和不是。

是的

我记得Andre Journel很久以前就强调了以下几点：

• 平稳性假设是分析师做出的关于使用何种模型的决策。它们不是现象的固有属性。

• 这样的假设对于偏离是稳健的，因为克里金法（至少在 20 多年前实践过）几乎总是基于在移动搜索邻域内选择附近数据的局部估计量。

这些点通过暗示在实践中只需要在典型的搜索邻域内保持，然后只需要近似地保持内在平稳性纯粹是局部属性的印象。

不

然而，在数学上确实是这样的情况，即无论距离多少，预期差异都必须完全为零。. 事实上，如果您只假设预期差异在 lag中是连续的，那么您根本不会假设太多！这种较弱的假设相当于断言期望中缺乏结构性中断（这甚至不意味着在过程的实现中缺乏结构性中断），但否则它不能被用来构建克里金方程，甚至估计变异函数。$|h|$$h$

要了解平均连续性的假设有多弱（实际上是无用的），请考虑实线上$Z$

$$Z(x) = U\text{ if } x \lt 0;\ Z(x) = -U\text{ otherwise }$$

其中具有标准正态分布。实现图将由高度的负的正的另一半线组成。$U$$u$$x$$-u$$x$

对于任何和，$x$$h$

$$E(Z(x)-Z(x-h)) = E(Z(x)) - E(Z(x-h)) = E(\pm U) - E(\pm U) = 0 - 0 = 0$$

但几乎可以肯定，表明该过程的几乎所有实现在处都是不连续的，即使该过程的平均值在任何地方都是连续的。$U\ne -U$$0$

解释

Diggle 和 Ribeiro 讨论了这个问题 [at p. 66]。他们正在谈论内在随机函数，其中增量被假定为平稳（不仅仅是弱平稳）：$Z(x)-Z(x-h)$

与平稳随机函数相比，内在随机函数包含更广泛的模型。关于空间预测，从固有模型和静态模型获得的预测之间的主要区别在于，如果使用固有模型，则点的预测会受到数据的局部行为的影响；即，通过在相对接近$x$$x$，而来自静止模型的预测也受到全局行为的影响。理解这一点的一种方法是记住内在过程的平均值是不确定的。因此，从假设的内在模型得出的预测往往会在局部平均值附近波动。相反，在数据稀疏的地区，从假设的平稳模型得出的预测倾向于恢复为假设模型的全局平均值。这两种行为中哪一种更自然取决于使用模型的科学背景。

评论

相反，如果您想控制过程的局部行为，您应该对增量的第二个时刻做出假设。例如，当 h\to 0 接近0该过程是均方连续的。 当存在一个进程时$E([Z(x)-Z(x-h)]^{2})$$0$$h\to 0$$Z^\prime$

$$E([Z(x)-Z(x-h) - h Z^\prime(x)]^{2}) = O(h^2)$$

对于所有，则该过程是均方可微的（具有导数）。$x$$Z^\prime$

参考

Peter J. Diggle 和 Paulo J. Ribeiro Jr.，基于模型的地质统计学。施普林格 (2007)