我假设$\alpha$包含定义您的先验的值$\theta$. 在这种情况下，我们通常会省略$\alpha$从符号和有边际似然

$$p(\mathbb{X}) = \int p(\mathbb{X}|\theta) p(\theta) d\theta.$$ 先验预测分布没有很好地定义，因为您没有告诉我您想要预测的是什么，例如，在预测单个数据点和预测一组观察值时，先验预测分布是不同的。在符号中，这是令人困惑的，因为$p(\tilde{x}|\theta)$取决于什么$\tilde{x}$是。

如果您想预测与您观察到的数据具有完全相同结构的数据，那么边际似然只是在您观察到的数据上评估的这种结构的数据的先验预测分布，即边际似然是一个数字，而先验预测分布具有概率密度（或质量）函数。

对于参数模型${\cal M} = \{p(\cdot \mid \theta, \alpha)\}$有两个参数$\theta$和$\alpha$配备了先验分布$\pi(\theta, \alpha)$然后（“联合”）可能性$(\theta, \alpha)$后$x$已观察到的定义为

$$L(\theta, \alpha \mid x) \overset{\theta,\alpha}{\propto} p(x \mid \theta, \alpha).$$ 请参阅此处了解我的符号$\overset{\theta,\alpha}{\propto}$.

边际可能性_$\alpha$通过在条件先验分布上积分联合似然度获得$\pi(\theta \mid \alpha)$：

$$\tilde L(\alpha \mid x) \overset{\alpha}{\propto} \int L(\theta,\alpha \mid x) \pi(\theta \mid \alpha) d\theta.$$ 这不过是新模型的“普通”可能性$\tilde{\cal M} = \{\tilde p(\cdot \mid \alpha)\}$带参数$\alpha$，通过在条件先验分布上积分原始采样分布获得$\pi(\theta \mid \alpha)$： $$\tilde p(x \mid \alpha) = \int p(x \mid \theta, \alpha)\pi(\theta \mid \alpha) d\theta$$ 这也是条件先验预测分布（的$x$给定$\alpha$）。使用边际先验分布$\pi(\alpha)$的$\alpha$对于这个模型，产生完全相同的后验分布： $$\pi(\alpha \mid x) \overset{\alpha}{\propto} \pi(\alpha)\tilde L(\alpha \mid x).$$

综上所述，边际似然是其采样分布是条件先验预测分布的模型的似然。