两个对数正态随机变量的乘积

机器算法验证 分布 正态分布 对数正态分布
2022-03-12 21:01:08

X1X2是两个正态随机变量。X1N(μ1,σ12)X2N(μ2,σ22), 来修正想法。

考虑相应的对数正态随机变量:Z1=exp(X1),Z2=exp(X2).

问题:两个随机变量的乘积的分布是什么,即Z1Z2?

如果正态随机变量X1,X2是独立的,或者它们具有二元正态分布,答案很简单:我们有Z1Z2=exp(X1+X2)与总和X1+X2正常,因此产品Z1Z2仍然是对数正态的。

但是假设X1,X2一般都是not独立的,有相关性的说ρ. 关于分布我们能说什么Z1Z2?

1个回答

在这里使用 Dilips 回答,如果XY是双变量正态和XN(μ1,σ12)YN(μ2,σ22)以及之间的相关性XYρ. 然后

Cov(X,Y)=ρσ1σ2,

X+YN(μ1+μ2,σ12+σ22+2ρσ1σ2).

因此Z1Z2也将是带有参数的对数正态分布μ1+μ2σ12+σ22+2ρσ1σ2.