从表面上的点估计球体的中心和半径

机器算法验证 回归 估计 非线性回归 几何学
2022-03-10 22:59:38

如果我们假设我们的数据点是从球体表面采样的（带有一些扰动），我们如何恢复该球体的中心？

在我的搜索中，我发现了一些标有“球形回归”的论文，但它看起来不像是在做同样的事情。也许我只是不明白。

是否有一个简单的公式，类似于线性回归，可以找到一个球体中心点和半径，以最小化一组数据点与球体表面的平方和距离？

编辑1：

我们可以假设噪声将比球体的半径小 2 或 3 个数量级，并且呈均匀的球面高斯分布。然而，样本本身肯定不会从球体表面均匀地抽取出来，而是可能会聚集在表面上的几个小块中，很可能都在一个半球内。适用于数据的解决方案R3很好，但是任意维度的通用解决方案也很棒。

编辑2：

如果我使用线性回归，我得到合理答案的机会有多大，y=Xβ+ϵ，在 7 维空间中，假设平方分量独立于其他参数：

X=[−2x−2y−2z111−1]β=[x0y0z0x02y02z02r2]′y=x2+y2+z2

充其量，我想我的错误度量会有点古怪。在最坏的情况下，解决方案甚至不会接近一致。
...或者这很愚蠢，因为有四个相同的列，当我们尝试进行回归时，我们会得到一个奇异矩阵。

编辑3：

所以，看起来这些是我的选择：

  1. 使用一些成本函数的非线性数值优化：f(x0,y0,z0,r|X)=12∑i=1n(r−(xi−x0)2+(yi−y0)2+(zi−z0)2)2
  2. 霍夫变换：离散化可能的空间或数据点周围的可能中心和半径。在每个特定半径离散化中，每个点都会对可能成为其一部分的潜在中心进行投票。大多数选票获胜。如果可能存在未知数量的球体，这可能没问题，但只有一个球体是一个混乱的解决方案。
  3. 随机（或系统地）选择 4 个点的组并分析计算 center。如果条件不佳（点几乎共面），则拒绝采样。拒绝异常值并找到平均中心。从中我们可以找到平均半径。

有没有人有更好的方法？

2个回答

下面是一些R代码，显示了使用最小二乘法的一种方法：

# set parameters

mu.x <- 8
mu.y <- 13
mu.z <- 20
mu.r <- 5
sigma <- 0.5

# create data
tmp <- matrix(rnorm(300), ncol=3)
tmp <- tmp/apply(tmp,1,function(x) sqrt(sum(x^2)))

r <- rnorm(100, mu.r, sigma)

tmp2 <- tmp*r

x <- tmp2[,1] + mu.x
y <- tmp2[,2] + mu.y
z <- tmp2[,3] + mu.z


# function to minimize
tmpfun <- function(pars) {
    x.center <- pars[1]
    y.center <- pars[2]
    z.center <- pars[3]
    rhat <- pars[4]

    r <- sqrt( (x-x.center)^2 + (y-y.center)^2 + (z-z.center)^2 )
    sum( (r-rhat)^2 )
}

# run optim
out <- optim( c(mean(x),mean(y),mean(z),diff(range(x))/2), tmpfun )
out


# now try a hemisphere (harder problem)

tmp <- matrix(rnorm(300), ncol=3)
tmp[,1] <- abs(tmp[,1])
tmp <- tmp/apply(tmp,1,function(x) sqrt(sum(x^2)))

r <- rnorm(100, mu.r, sigma)

tmp2 <- tmp*r

x <- tmp2[,1] + mu.x
y <- tmp2[,2] + mu.y
z <- tmp2[,3] + mu.z

out <- optim( c(mean(x),mean(y),mean(z),diff(range(y))/2), tmpfun )
out

如果您不使用R，那么您仍然应该能够遵循逻辑并将其翻译成另一种语言。

从技术上讲，半径参数应该以 0 为界，但是如果相对于真实半径的可变性很小，那么无界方法应该可以正常工作，或者 optim 可以选择进行有界优化，（或者你可以只做函数中的半径以最小化）。

您可能对最适合的 d 维球体感兴趣，即最小化到中心的平方距离的总体方差；它有一个简单的解析解（矩阵微积分）：参见 Cerisier 等人的开放获取论文的附录。在 J. 计算机。生物学。24(11), 1134-1137 (2017), https://doi.org/10.1089/cmb.2017.0061 它在数据点被加权时起作用（它甚至适用于连续分布；作为副产品，当 d= 1，检索一个众所周知的不等式：峰度总是大于平方偏度加 1)。

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