Question 1

...关系是非线性的，但 x 和 y 之间有明确的关系，我如何测试关联并标记其性质？

这样做的一种方法是适合 $y$ 作为半参数估计的函数 $x$ 例如，使用广义加性模型并测试该函数估计是否为常数，这表明两者之间没有关系 $y$ 和 $x$ . 这种方法使您不必进行多项式回归，也不必有时对多项式的阶数做出任意决定等。

具体来说，如果您有观察结果， $(Y_i, X_i)$ ，您可以拟合模型：

E (Y_{i} | X_{i}) = α + f (X_{i}) + ε_{i}

$E(Y_i | X_i) = \alpha + f(X_i) + \varepsilon_i$

并检验假设 $H_{0} : f(x) = 0, \ \forall x$ . 在R中，您可以使用该gam()函数执行此操作。如果y是您的结果并且x是您的预测器，您可以输入：

library(mgcv) 
g <- gam(y ~ s(x))

打字summary(g)会给你上面假设检验的结果。就描述关系的性质而言，最好用情节来完成。一种方法R（假设上面的代码已经输入）

plot(g,scheme=2)

如果您的响应变量是离散的（例如二进制），您可以通过拟合逻辑 GAM 在此框架内适应它（在中R，您将添加family=binomial到您的调用中gam）。此外，如果您有多个预测变量，您可以包含多个加法项（或普通线性项），或拟合多变量函数，例如 $f(x,z)$ 如果你有预测器x, z。如果您使用默认方法，则通过交叉验证自动选择关系的复杂性，尽管这里有很大的灵活性 -如果有兴趣，请参阅gam帮助文件。

Question 2

如果非线性关系是单调秩相关（Spearman's rho）将是合适的。在您的示例中，有一个明显的小区域，其中曲线从单调递增变为单调递减，就像抛物线在一阶导数等于的点处所做的那样 $0$ .

我想如果你有一些建模知识（除了经验信息之外）发生变化点的地方（比如 $x=a$ ) 然后您可以将相关性描述为正，并在集合上使用 Spearman 的 rho $(x,y)$ 对在哪里 $x < a$ 提供该相关性的估计值，并使用 Spearman 相关性的另一个估计值 $x>a$ 其中相关性为负。这两个估计然后表征了之间的相关结构 $x$ 和 $y$ 并且与接近的相关性估计不同 $0$ 当使用所有数据进行估计时，这些估计值将很大且符号相反。

有些人可能会争辩说，只是经验信息（即观察到的 $(x,y)$ 对足以证明这一点。

Question 3

您可以使用距离相关性测试来测试任何类型的依赖性。有关距离相关性的更多信息，请参见此处：了解距离相关性计算

这里是原始论文：https ://arxiv.org/pdf/0803.4101.pdf

在 R 中，这是在带有函数的energy包中实现的。dcor.test

Question 4

如果我的理解有误，请有人纠正我，但处理非线性变量的一种方法是使用线性近似。因此，例如，取指数分布的对数应该允许您将变量视为正态分布。然后可以像任何线性回归一样使用它来解决问题。

Answer 1