机器算法验证 - 中位数的置信区间 - 吾爱随笔录

中位数的置信区间

机器算法验证标准差引导程序标准错误中位数

2022-03-30 03:15:42

我有一组价值观 ${x_i}, i=1, \dots ,N$ 其中我计算了中位数 M。我想知道如何计算这个估计的误差。

在网上我发现它可以计算为 $1.2533\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ 在哪里 $\sigma$ 是标准差。但我没有找到关于它的参考资料。所以我不明白为什么..有人可以向我解释一下吗？

我在想我可以使用引导程序来估计错误，但我想避免它，因为它会大大减慢我的分析速度。

我也在考虑以这种方式计算中位数的误差

δ M = \sqrt{\frac{\sum_{i} (x_{i} - M)^{2}}{N - 1}}

$\delta M = \sqrt{ \frac{\sum_i(x_i - M)^2}{N-1} }$

是否有意义？

2个回答

要直接处理中位数的误差，您可以使用中位数的精确非参数置信区间，它使用顺序统计。如果您想要一些不同的东西，即离散度的度量，请考虑基尼平均差。代码在这里用于中位数的置信区间。

正如另一个答案中所指出的，使用顺序统计的中位数有一个非参数 CI。那个 CI 在很多方面都比你在网上找到的要好。

现在，如果你必须知道 $1.2533\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ 因子来自哪里，答案是来自中位数的渐近分布。如果我们将样本中位数表示为 $\tilde{\theta}$ 和人口中位数 $\theta$ 那么可以证明

\sqrt{n} (\tilde{θ} - θ) \overset{L}{\to} N (0, \frac{1}{4 {[f (θ)]}^{2}})

$\sqrt{n} \left( \tilde{\theta} - \theta \right) \xrightarrow{L} \mathcal{N} \left(0, \frac{1}{4 \left[f \left( \theta \right) \right]^2} \right)$

在哪里 $f$ 是您的样本的分布。结果不像 CLT 那样普遍，因为渐近分布仍然取决于样本的基本分布（通过术语 $\left[f \left( \theta \right) \right]^2$ ）。但是，您可以非常简单地说明您的样本来自具有均值和中值的正态分布 $\theta$ 和方差 $\sigma^2$ . 评估 $f$ 然后在其对称点产生

{[f (θ)]}^{2} = \frac{1}{2 π σ^{2}}

$\left[f \left( \theta \right) \right]^2 = \frac{1}{2\pi \sigma^2}$

因此渐近方差变为

\frac{2 π}{4} σ^{2}

$\frac{2\pi}{4} \sigma^2$ .

被除以 $N$ 并取其平方根以得出您的标准误差 $1.2533\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ .

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