似乎您以两种不同的方式使用两次 - 作为样本量和构成二项式随机变量的伯努利试验的数量；为了消除歧义，我将使用来指代后者。$n$$k$

如果您有独立样本，则它们的样本均值的方差为$n$${\rm Binomial}(k,p)$

$${\rm var} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} {\rm var}( X_{i} ) = \frac{ n {\rm var}(X_{i}) }{ n^2 } = \frac{ {\rm var}(X_{i})}{n} = \frac{ k pq }{n}$$

其中和是相同的平均值。这是因为$q=1-p$$\overline{X}$

(1)，对于任何随机变量和任何常数。${\rm var}(cX) = c^2 {\rm var}(X)$$X$$c$

(2)独立随机变量之和的方差等于方差之和。

的标准误差是方差的平方根：。所以，$\overline{X}$$\sqrt{\frac{ k pq }{n}}$

• 当时，您会得到您指出的公式：$k = n$$\sqrt{pq}$

• 当并且二项式变量只是伯努利试验时，您会得到在其他地方看到的公式：$k = 1$$\sqrt{\frac{pq }{n}}$

很容易混淆两个二项分布：

• 成功次数分布
• 成功率分布

npq 是成功的次数，而 npq/n = pq 是成功的比率。这导致不同的标准误差公式。

我们可以这样看：

假设我们正在做一个实验，我们需要投掷一枚无偏硬币次。实验的总体结果是，它是单个抛掷的总和（例如，头部为 1，尾部为 0）。因此，对于这个实验，，其中是单个投掷的结果。$n$$Y$$Y = \sum_{i=1}^n X_i$$X_i$

在这里，每次抛掷的结果遵循伯努利分布，而总体结果遵循二项分布。$X_i$$Y$

完整的实验可以被认为是一个单一的样本。因此，如果我们重复实验，我们可以得到另一个值，这将形成另一个样本。的所有可能值将构成完整的总体。$Y$$Y$

回到遵循伯努利分布的单次抛硬币，方差由给出，其中是正面（成功）的概率，。$pq$$p$$q = 1 – p$

的方差，。但是，对于所有单个伯努利实验，。由于实验中有次抛掷或伯努利试验，因此。这意味着具有方差。$Y$$V(Y) = V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$$V(X_i) = pq$$n$$V(Y) = \sum V(X_i) = npq$$Y$$npq$

现在，样本比例由给出，它给出了“成功或正面的比例”。在这里，是一个常数，因为我们计划对总体中的所有实验进行相同的抛硬币次数。$\hat p = \frac Y n$$n$

因此，。$V(\frac Y n) = (\frac {1}{n^2})V(Y) = (\frac {1}{n^2})(npq) = pq/n$

（样本统计量）的标准误差$\hat p$$\sqrt{pq/n}$

我认为最初的帖子中标准误差和标准偏差之间也存在一些混淆。标准差是分布方差的平方；标准误差是样本的估计平均值与该分布的标准偏差，即如果您无限次对该样本进行观察，您将观察到的平均值的分布。前者是分布的内在属性；后者是衡量您对分布属性（平均值）的估计质量的度量。当您进行 N 次伯努利试验以估计未知的成功概率时，在看到 k 次成功后，您估计的 p=k/N 的不确定性是估计比例的标准误差，即 sqrt(pq/N) 其中 q=1 -p。真实分布的特征在于参数 P，即成功的真实概率。