机器算法验证 - y < x * z 的概率，如果 x,y,z 独立且正态分布 - 吾爱随笔录

我正在尝试计算 $Y < XZ$ 如果 $X \sim N(0, 1), Y \sim N(0, 1), Z\sim N(0, 1)$ 是独立的。

如果我理解正确的分布函数 $xz$ 是这样计算的：

f (u) = \int_{- \infty}^{\infty} p_{x} (x) p_{y} (\frac{u}{x}) \frac{1}{| x |} d x = \frac{K_{0} (| u |)}{π},

$f(u) = \int^{\infty}_{-\infty}p_x(x)p_y(\frac{u}{x})\frac{1}{|x|}dx = \frac{K_0(|u|)}{\pi},$ 在哪里

K_{0}

$K_0$ 是第二类修正贝塞尔函数。然后我们说对于每个

y

$y$ 我们想找到

P (u < y)

$P(u < y)$ ：

P (U < Y) = \int_{- \infty}^{y} f (u) d u = \int_{- \infty}^{y} \frac{K_{0} (| u |)}{π} d u = It does not converge :(

$P(U < Y) = \int_{-\infty}^{y}f(u)du = \int_{-\infty}^{y}\frac{K_0(|u|)}{\pi}du = \text{It does not converge :(}$

然后（如果上一步是正确的）我将整合过去 $y$ ：

P (X Z < Y) = P (U < Y) = \int_{- \infty}^{\infty} p_{y} (y) d y \int_{- \infty}^{y} f (u) d u

$P(XZ < Y) = P(U < Y) = \int^{\infty}_{-\infty}p_y(y)dy\int_{-\infty}^{y}f(u)du$

我真的不明白这里出了什么问题:-(