当截距被抑制时，斜率的普通最小二乘估计为：

@gung 给出了 OLS 估计值。这就是你所寻求的。

但是，在处理线必须通过原点的物理量时，误差的大小通常会随着 x 值的变化而变化（大致具有恒定的相对误差）。在这种情况下，普通的未加权最小二乘法是不合适的。

在这种情况下，一种方法（有几种可能性）是取对数，从 y 中减去 x，并通过差异的平均值估计（原始变量的）对数斜率。

或者，可以使用加权最小二乘。在相对误差恒定的情况下，将减少为使用估计器$\hat{\beta}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \frac{y_i}{x_i}$（通过原点的所有斜率的平均值）。

还有其他方法（例如 GLM），但如果你是在计算器上做的，我会倾向于我的第一个建议。

您还应该考虑您所做的任何假设的适当性。

我认为通过原点添加 WLS 线的推导可能是有益的，然后我的“平均斜率”和 gungs OLS 是特殊情况：

模型是$y_i=\beta x_i+\varepsilon_i\,,$在哪里$\text{Var}(\varepsilon_i)=w_i\sigma^2$

我们想最小化$S = \sum_i w_i(y_i-\beta x_i)^2$

$\frac{\partial S}{\partial \beta} = -\sum_i 2x_i.w_i(y_i-\beta x_i)$

设置为零以获得 LS 解$\hat{\beta}$我们获得 $\sum w_ix_iy_i = \hat{\beta} \sum w_ix_i^2$， 或者$\hat{\beta}=\frac{\sum w_ix_iy_i}{\sum w_ix_i^2}$.

什么时候$w_i\propto 1$对全部$i$，这产生了gung的OLS解决方案。

什么时候$w_i \propto 1/x_i^2$（这对于散布随平均值增加的情况是最佳的），这会产生上述“斜率平均值”解决方案。