Jensen 不等式确实可以证明这一点。

提示：请注意，对于$\alpha > 1$，函数x^{\alpha}在\left[0, -\infty\right)$x^{\alpha}$中是凸的（这就是您使用假设X \ge 0的地方）。然后 Jensen 不等式给出 \mathbb{E}\left[Y\right]^{\​​alpha} \le \mathbb{E}\left[Y^{\alpha}\right] 并且对于\alpha < 1，它是其他方式。$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

现在，将变量转换为可比较的变量，并找到相关的$\alpha$。

Lyapunov 不等式（参见：Casella 和 Berger，统计推断 4.7.6）：

对于 : $1 < r < s < \infty$

证明：

通过 Jensens 凸不等式：$\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

考虑，然后其中$\phi(Y) = Y^t$$(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

代入 :$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

一般来说，对于，这意味着：$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

假设 X 在 [0,1] 上均匀分布，则 E(X )=等 E(X ) =和 E( X )=所以 E(X ) =。所以在这种情况下 E(X ) > E(X )。你能概括一下或找到一个反例吗？$^2$$\frac{1}{3}$$^2$$^3$$\frac{1}{27}$$^3$$\frac{1}{4}$$^3$$^2$$\frac{1}{16}$$^3$$^2$$^2$$^3$