不。

你错过了中心极限定理的中心假设之一：

...具有有限方差的随机变量...

柯西分布没有有限方差。

柯西分布是一个没有定义均值、方差或更高矩的分布示例。

实际上

如果$X_1, \ldots, X_n$是独立且同分布的随机变量，每个变量都具有标准的柯西分布，则样本均值$\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$具有相同的标准柯西分布。

因此，您问题中的情况非常明确，您只需不断获得相同的柯西分布。

这就是稳定分配的概念吧？

是的。（严格）稳定分布（或随机变量）是任何线性组合的分布$a X_1 + b X_2$两个 iid 副本的分配与原始分布成比例。柯西分布确实是严格平稳的。

(*) 来自维基百科的引文。