机器算法验证 - Beta 作为比例分布（或作为连续二项式） - 吾爱随笔录

Beta分布与二项式相关，也是订单统计的分布。二项分布的概率质量函数是

\begin{matrix} (1) & f (k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} \end{matrix}

$f(k) = {n \choose k} p^k (1-p) ^{n-k} \tag{1}$

贝塔分布的概率密度函数是

\begin{matrix} (2) & g (p) = \frac{1}{B (α, β)} p^{α - 1} (1 - p)^{β - 1} \end{matrix}

$g(p) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)} p^{\alpha-1} (1-p)^{\beta-1} \tag{2}$

我们可以将(1) 中的重写为 $n \choose k$

\frac{1}{(n + 1) B (k + 1, n - k + 1)}

$\frac{1}{(n+1) \mathrm{B}(k+1, n-k+1)}$

如果我们替换 $k+1 = \alpha$ 和 $n-k+1 = \beta$ 那么 (1) 变为

\frac{1}{(n + 1) B (α, β)} p^{α - 1} (1 - p)^{β - 1}

$\frac{1}{(n+1) \mathrm{B}(\alpha, \beta)} p^{\alpha-1} (1-p)^{\beta-1}$

所以基本上，beta 是 $k/n$ 比例的分布，其中平均比例表示为 $n$ $\mu$

\begin{matrix} (3) & \frac{1}{B (n μ + 1, n (1 - μ) + 1)} p^{n μ} (1 - p)^{n (1 - μ)} \end{matrix}

$\frac{1}{\mathrm{B}(n\mu+1, n(1-\mu)+1)} p^{n\mu} (1-p)^{n(1-\mu)} \tag{3}$

您是否熟悉此类 beta 使用的任何参考资料或示例？大多数关于比例统计分析的文献（我发现）似乎只描述了二项式分布和β-二项式贝叶斯模型，而不是直接处理β。