让我们假设年降雨量可以被认为是一个连续变量（这要求一年中没有降雨的概率等于零。）以下步骤使我们达到了我们的目标：

1. 首年降雨量具有累积分布函数 $F(X_1)$, 并且众所周知,$F(X_1) \sim \text{Uniform}(0,1)$（概率积分变换）

2. 任何给定连续年份的降雨量超过第一年降雨量的概率为 $1-F(X_1)$, 标记它$p$. （这是因为任何给定的连续年份降雨的概率为$\leq$第 1 年的降雨量是$F(X_1)$，所以超过它的概率就是$1-F(X_1)$。） 自从$F(X_1) \sim \text{Uniform}(0,1)$,$p$也是；$1 -$一种$\text{Uniform}(0,1)$变量也是一个 $\text{Uniform}(0,1)$变量。

3. 年数（$k$) 直到第一年的降雨量首次超过，条件是$p$, 具有概率参数的几何分布$p$：$p(k | p) = (1-p)^{k-1}p$.

去除条件$p$，我们将几何分布与均匀分布相结合$p$，它在下面的表达式中“消失”，因为它等于$1$到处：

哪一个是$\text{Beta}(2,k)$功能。扩展此功能会导致：

在 R 中快速检查这（似乎）确实总和$1$：

> sum(beta(2,1:100000))
[1] 0.99999

jbowman 的答案是正确的，尽管对于相同的答案有另一种方法

通过对称性并假设连续分布，因此没有联系，概率$X_1$是最大的$\{X_1,X_2,\cdots X_n\}$是$\frac1n$和概率$X_1$是最大的$\{X_1,X_2,\cdots X_n, X_{n+1}\}$是$\frac1{n+1}$

这意味着概率$X_{n+1}$是第一个超过的值$X_1$是$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$

有点违反直觉，这意味着直到$X_1$因此超过是无限的。