我认为这是一个错字。

Logistic 曲线关于的导数是： $x$

$$\frac{\beta\mathrm{e}^{\alpha + \beta x}}{\left(1 + \mathrm{e}^{\alpha + \beta x}\right)^{2}}$$

所以对于他们的例子，其中它是： 在平均值处计算给出： 这个结果非常接近处获得，支持他们的主张。$\alpha = -1.40, \beta = 0.33$

$$\frac{0.33\mathrm{e}^{-1.40 + 0.33 x}}{\left(1 + \mathrm{e}^{-1.40 + 0.33 x}\right)^{2}}$$ $\bar{x}=3.1$ $$\frac{0.33\mathrm{e}^{-1.40 + 0.33 \cdot 3.1}}{\left(1 + \mathrm{e}^{-1.40 + 0.33\cdot 3.1}\right)^{2}} = 0.0796367$$ $0.33/4 = 0.0825$$x=-\frac{\alpha}{\beta}=4.24$

在第 82 页，他们写道

但是。相反，它大约是，如上所示。$0.33\mathrm{e}^{-0.39}/\left(1+\mathrm{e}^{-0.39}\right)^{2}\neq 0.13$$0.08$

对于连续变量 ， logit 模型的边际效应为$x$$x$

$$\Lambda(\alpha + \beta x)\cdot \left[1-\Lambda(\alpha + \beta x)\right]\cdot\beta = p \cdot (1 - p) \cdot \beta,$$ 其中逆 logit 函数是 $\Lambda$ $$\Lambda(z)=\frac{\exp{z}}{1+\exp{z}}.$$

这里是一个概率，因此在最大化，这就是的来源。乘以系数可以得到边际效应的上限。这里是$p$$p\cdot (1-p)$$p=0.5$$0.25$$\frac{1}{4}$

$$0.25\cdot0.33 =0.0825.$$

计算平均收入收益率的边际效应，

$$\mathbf{invlogit}(-1.40 + 0.33 \cdot 3.1)\cdot \left(1-\mathbf{invlogit}(-1.40 + 0.33 \cdot3.1)\right)\cdot 0.33 = 0.07963666$$

这些非常接近，近似的最大边际效应限制了平均值的边际效应。