机器算法验证 - 给定 Var(X), Var(Y) 的 Cov(X, Y) 边界？ - 吾爱随笔录

给定 Var(X), Var(Y) 的 Cov(X, Y) 边界？

机器算法验证方差协方差不等式

2022-03-03 09:51:37

我正在使用rmultnorm()R 中的函数生成随机多元正态数据，该函数允许用户指定总体均值的向量和方差-协方差矩阵。 $k$ $k \times k$

给定 $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X)$ 和 $\Var(Y)$ 的值的边界是什么 $\newcommand{\Cov}{\mathrm{Cov}}\Cov(X, Y)$ 我可以选择方差-协方差矩阵吗？

使用该属性是否有意义：

\begin{aligned} V a r (X) + V a r (Y) = V a r (X + Y) - 2 C o v (X, Y) \end{aligned}

$\begin{align}\Var(X) + \Var(Y) = \Var(X+Y) - 2\Cov(X,Y)\end{align}$

和皮尔逊相关系数方程：

\begin{aligned} - 1 \leq \frac{C o v (X, Y)}{\sqrt{V a r (X) V a r (Y)}} \leq 1 \end{aligned}

$\begin{align}-1 \leq \frac{\Cov(X,Y)}{\sqrt{\Var(X)\Var(Y)}} \leq 1 \end{align}$

上设置上限/下限 $\Cov(X,Y)$ ？

2个回答

对于单个协方差，您只需要底部方程。界限是协方差不能大于标准差的乘积（并且不能小于相同值的负数）。但是，对于超过 2 项的协方差矩阵有一个额外的限制，该矩阵必须是半正定的（或在某些情况下是正定的）。这消除了 X 和 Y 强正相关以及 X 和 Z 强正相关，但 Y 和 Z 强负相关（这在现实世界中不起作用，但仍然可以拟合成对界限）的情况。检查这一点的一种方法是，如果所有特征值都是正的，那么它是正定的，如果特征值都是非负的，那么它是半正定的。

在多变量情况下，您可以使用所谓的多变量 Cauchy-Schwarz 不等式：这里的不等号必须按照正定矩阵锥上的偏序来解释：表示为正定。

V a r (z) \geq C o v (z, y) V a r (y)^{- 1} C o v (y, z)

$\newcommand{\Var}{Var} \newcommand{\Cov}{Cov} \Var(z) \ge \Cov(z,y) \Var(y)^{-1} \Cov(y,z)$

A \leq B

$A \le B$

B - A

$B-A$

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