我认为这里发生的是所有变量都彼此正相关。在这种情况下，第一台 PC 通常非常接近所有变量的平均值。如果所有变量都与完全相同的相关系数呈正相关，那么第一个 PC与所有变量的平均值完全成正比，正如我在这里解释的那样：平均所有变量可以被视为 PCA 的粗略形式吗？$c$

在这种简单的情况下，实际上可以从数学上推导出您所询问的关系。考虑大小的相关矩阵，如下所示：它的第一个特征向量等于，它对应于所有变量的 [scaled] 平均值。它的特征值为。如果当然由所有对角元素的总和给出，则所有特征值的总和，即。所以第一个 PC 的解释方差的比例等于$n\times n$

$$\left(\begin{array}{}1&c&c&c\\c&1&c&c\\c&c&1&c\\c&c&c&1\end{array} \right).$$ $(1,1,1,1)^\top/\sqrt{n}$$\lambda_1=1+(n-1)c$$\sum \lambda_i=n$ $$R^2=\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n}c \approx c.$$

所以在这个最简单的情况下，第一个 PC 解释方差的比例与平均相关性是 100% 相关的，并且对于大的大约等于它。这正是我们在你的情节中看到的。$n$

我希望对于大型矩阵，即使相关性不完全相同，这个结果也将大致成立。

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Update. Using the figure posted in the question, one can even try to estimate the $n$ by noticing that $n=(1-c)/(R^2-c)$. If we take $c=0.5$ and $R^2-c=0.02$, then we get $n=25$. The OP said that the data was a "DAX stock index"; googling it, we see that it apparently consists of $30$ variables. Not a bad match.

我相信平均相关性和第一台 PC 的特征值之间的关系存在但不是唯一的。我不是能够推导出它的数学家，但我至少可以展示一个人的直觉或思想可能从何而来的起点。

如果您将标准化变量绘制为欧几里得空间中的向量（这是轴是观测值的缩减空间），则相关性是两个向量之间的余弦。

并且因为向量都是单位长度（由于标准化），余弦是向量在彼此上的投影（如左图所示，带有三个变量）。第一个 PC 是这个空间中的这样一条线，它使投影到其上的平方和的总和最大化，a，称为负荷；这个和是第一个特征值。

因此，当您建立左侧三个投影的均值与右侧三个平方投影的总和（或均值）之间的关系时，您就回答了有关平均相关性和特征值之间关系的问题。