这个问题在两个不同的数学意义上使用“高斯”（这就是它的分辨率）：首先作为分布，然后 - 在第二段的开头 - 作为概率密度函数。但是，退化的高斯没有 PDF。因此，我们应该根据一个无论如何都保证存在的对象来可视化分布；即累积分布函数。退化高斯（均值）的 CDF在值跃升至 ，对定义或限制值没有任何困难。$\mu$$0$$1$$\mu$

高斯密度确实随着标准偏差的减小而“退化”，因为它在平均值处变得任意大并在其他地方缩小到零，如这些标准偏差为和。（为了更好的可视化，垂直轴在第三个分布的峰值处被截断；最后一个最窄的峰值（以蓝色显示）延伸到以上。）$1, 1/4, 1/16,$$1/64$$25$

峰必须变得非常大以补偿缩小的宽度，因为 PDF 通过面积表示概率，并且根据概率公理的要求，只有当曲线在另一个（垂直）中变大时，总面积才等于方向。有关进一步的解释，请参阅超过 1 的概率分布值是可以的。处没有明确定义的限制，但所有其他数字的限制为零。无论我们关心在 --even " " 处赋予限制的值是什么 -- 该限制函数下的面积为零，因此它不能是任何分布的 PDF。$1$$\mu$$\mu$$+\infty$

相反，CDF 在小标准偏差的限制下接近一条明确的曲线，这在这四个分布的 CDF 的相应图中很明显：

颜色以与上图相同的方式对应于分布。标准差为的分布的 CDF（以蓝色显示）在周围非常短的空间内跃升至。在零标准偏差的极限中，跳跃将是瞬时的：极限曲线在所有小于的值处为零，在所有大于。本身的限制曲线的值$1/64$$0$$1$$\mu$$\mu$$1$$\mu$$\mu$$1/2.$ 这很好理解；相关定理并没有断言限制 CDF 有跳跃的点处的限制值是正确的。）这个跳跃代表了一个“原子”在所有概率都集中。限制函数确定了一个有效的概率分布，但是现在，因为它将所有概率定位在一组可数的点（即单个点）内，所以它是离散的而不是连续的。通常我们会使用它的概率质量函数（在处等于）。$\mu$$1$$\mu$