重要的是。分母用于摆脱测量单位（如果说以米为单位，以千克为单位，那么以米-千克为单位，这很难理解）和标准化（介于 -1 和 1 之间，无论您拥有什么变量值）。$cov(X,Y)$$\sqrt{var(X)var(Y)}$$X$$Y$$cov(X,Y)$$cor(X,Y)$

现在回到。这显示了变量的均值如何变化，因此是协方差。让我们举个例子。$cov(X,Y)$

和处绘制线条。右上角的点是和均高于平均值的位置，因此和都是正数。左下角的点低于它们的平均值。在这两种情况下，产品都是正数。相反，左上和右下是该产品为负的区域。$\bar X$$\bar Y$$X_i$$Y_i$$(X_i-\bar X)$$(Y_i-\bar Y)$$(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$

现在，在这个例子中计算协方差时给出正积占主导地位，产生正协方差。当点更接近穿过点的可想象线对齐时，此协方差更大。$cov(X,Y)=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$$(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$$(\bar X,\bar Y)$

最后一点，协方差仅显示线性关系的强度。如果关系是非线性的，则协方差无法检测到它。

如果在您显示的公式中，您将所有三个项cov(X,Y)、var(X)和var(Y)的“除数”除以n-1 ，您将获得r的更基本公式：，其中SCP是“叉积和”，SS是“平方和”。通常，这是余弦的公式。但是由于X和Y是居中的（“偏差的叉积之和”和“偏差的平方和”），它变成了r的公式，- r 是居中变量之间的余弦。$\frac{SCP(X,Y)}{\sqrt{SS(X)} \sqrt{SS(Y)}}$

现在，余弦是比例的度量；cos(X,Y)=1当且仅当Xi=kYi时，即当所有点 ( i ) 位于来自 X 与 Y 坐标系原点的直线上时。如果线不通过原点或点偏离直线，cos会变小。因为 Pearson r是云的cos，它以X轴和Y轴为中心，所以这条线不可避免地通过原点；因此，只有点偏离直线才能减小r：r是线性度。

如果r = 1，则存在完美的线性相关，如果r = -1，则存在完美的负线性相关，如果r = 0，则不存在线性相关。我们除以 X 和 Y 的标准差的原因是为了获得一个不依赖于尺度的度量。

有关更详细的答案，请参阅此线程。