为了完整起见，我将在此处提供答案。这是变量多变量变化定理的简单应用：假设$Y = \Phi(X)$其中$\Phi$是一个平滑双射函数。然后

$$p_Y(y) = p_X(\Phi^{-1}(y)) \vert \det J_{\Phi^{-1}}(y)\vert$$ 其中$J_{\Phi^{-1}}$是逆变换的雅可比矩阵。因此对于多元对数正态随机变量$Y = \exp(Z)$其中$Z\sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma)$，我们有$\Phi^{-1}(y) = \ln(y)$和所以

$$J_{\Phi^{-1}}(y) = \text{diag}(1/y_1,\ldots,1/y_n)$$ 因此

$$\vert \det J_{\Phi^{-1}}(y)\vert = \prod_{j=1}^ny_j^{-1} = \frac{1}{y_1y_2\cdots y_n}$$ 所以，最后我们有

$$p_Y(y) = (2\pi)^{-n/2}(\det\Sigma)^{-1/2}\prod_{j=1}^ny_j^{-1}\exp\left(-\frac{1}{2}(\ln(y)-\mu)^t\Sigma^{-1}(\ln(y) - \mu)\right)$$