至于质的差异，正如您所说，对数正态和伽马非常相似。

实际上，在实践中，它们通常用于对相同的现象进行建模（有些人会使用伽玛，而其他人则使用对数正态）。例如，它们都是常数变异系数模型（对数正态的 CV 为$\sqrt{e^{\sigma^2} -1}$，对于伽马，它是$1/\sqrt \alpha$）。

[你问，如果它取决于一个参数，它怎么可能是常数？它适用于您对比例建模（对数比例的位置）；对于对数正态，$\mu$充当比例参数，而对于 gamma，比例是不是形状参数的参数（如果使用形状速率参数化，则为它的倒数）。我将调用伽马分布的比例参数$\beta$. 伽玛 GLM 模型均值 ($\mu=\alpha\beta$) 同时持有$\alpha$持续的; 在这种情况下$\mu$也是一个尺度参数。具有变化的模型$\mu$和常数$\alpha$或者$\sigma$分别将具有恒定的 CV。]

您可能会发现查看它们的日志密度很有启发性，这通常会显示出非常明显的差异。

对数正态随机变量的对数是……正态的。它是对称的。

伽马随机变量的对数是左偏斜的。根据形状参数的值，它可能非常倾斜或几乎对称。

这是一个示例，对数正态和伽马的均值为 1，方差为 1/4。上图显示密度（绿色为伽马，蓝色为对数正态），下图显示对数的密度：

（绘制原木密度的对数也很有用。即在上面的 y 轴上取对数刻度）

这种差异意味着 gamma 左侧的尾部较多，右侧的尾部较少；对数正态的最右尾较重，左尾较轻。实际上，如果您查看对数正态和伽马的偏度，对于给定的变异系数，对数正态更偏右（$\text{CV}^3+3\text{CV}$) 比伽马 ($2\text{CV}$）。

是的，伽马分布是最大熵分布，其均值$E(X)$和平均对数$E(\log X)$是固定的。与所有指数族分布一样，它是固定预期充分统计量的唯一最大熵分布。

要回答有关生成这些分布的物理过程的问题：当 X 的对数呈正态分布时，例如，如果 X 是许多小因素的乘积，则会出现对数正态分布。如果 X 是伽马分布的，则它是许多指数分布变量的总和。例如，泊松过程的许多事件的等待时间。