这是在分布上运行 KS-test 的方法。$t$

1. 假设您有一个您怀疑来自分布的样本，并且其大小 =$t$$n$
2. 从样本中估计 t 分布参数。
3. 从估计的分布中生成个样本。$M$$n$
4. 对于每个样本，使用估计的分布作为理论获得 KS 统计量
5. 从获得的统计数据构建经验非参数分布，例如使用核密度估计器
6. 获取原始样本和估计分布的 KS 统计量
7. 使用统计的经验分布获得值$p$
8. 根据置信水平做出决定

在您的情况下 df 是给定的，因此您可以使用给定的分布，而不是像我在 MATLAB 中的示例中那样估计它（'nu' 变量是 df）。$t$$N$

% True T-distribution
true_pd = makedist('tlocationscale','mu',0,'sigma',1,'nu',2);

% plot true distribution
x=0:0.01:1;
plot(icdf(true_pd,x),x);
hold on;
plot(norminv(x),x);
legend({'t' 'normal'},'Location','Best')
title 'CDF'

rng(0)
% obtain a sample
n=100;
sample = random(true_pd,n,1);

subplot(2,1,1)
histfit(sample,20,'normal');
title 'Sample from t(2,1,0) fit with Nromal'
subplot(2,1,2)
qqplot(sample);

% estimate H_0: T-distribution from this sample
disp 'H_0:'
null_pd = fitdist(sample,'tlocationscale')
[~,~,ksstat] = kstest(sample,'CDF',null_pd);

% get KS-test critical values by parametric bootstrapping from estimated
m=999;
r=random(null_pd,n,m);

stats = zeros(m,1); % store test statistics
est_pd = makedist('tlocationscale');
opts = statset(statset('tlsfit'),'MaxIter',1000);
opts = statset(opts,'MaxFun',2000);

for i=1:m
    bsample = r(:,i);
    [~,~,stats(i)] = kstest(bsample,'CDF',est_pd.fit(bsample,'options',opts));
end

p = (sum(stats>ksstat)+1) / (m+1);
mcErr = sqrt(p*(1-p)/m);
fprintf('KS stat: %f, p-value: %f, Monte Carlo error: %f\n',ksstat, p , mcErr);

% get the empirical distribution of KS test statistics
epd = ProbDistUnivKernel(stats);

% popular critical values
disp 'Crit. values for \alpha= 0.1, 0.05 and 0.01'
icdf(epd,[ 0.9 0.95 0.99])

figure
plot(icdf(epd,x),x)
grid on
title 'KS-test statistics simulated distribution'

输出：

H_0:

null_pd = 

  tLocationScaleDistribution

  t Location-Scale distribution
       mu = 0.161093   [-0.117585, 0.439771]
    sigma =  1.06958   [0.799248, 1.43136]
       nu =  1.58744   [1.02505, 2.45837]

KS stat: 0.041646, p-value: 0.865000, Monte Carlo error: 0.010812
Crit. values for \alpha= 0.1, 0.05 and 0.01

ans =

    0.0720    0.0791    0.0931

在这种情况下，基于值，我们不能拒绝样本来自 t 分布。$p$

您可以在此处将临界值与标准临界值进行比较。您可以用标准正态分布替换我定义和估计$t$

如果你不喜欢我的方法，你可以关注这篇论文，它详细描述了自举：Jogesh Babu, G. 和 CR Rao。“估计参数时的拟合优度检验。” Sankhya：印度统计杂志 66（2004 年）：63-74。

如果您想了解@Glen_b 在说必须知道分布而不是估计分布时所说的内容，请参阅NIST 手册中的第3 项。

如果您的样本是正态的并且您必须估计 df，这不是一个非常强大的测试。在小样本量中很难区分正态分布和分布，因为当 df N分布会收敛到正态分布。在您的情况下，给出了 N，因此测试应该可以正常工作。$t$$t$$\to\infty$

除非您在查看数据之前预先指定了均值和方差，否则直接 Kolmogorov-Smirnov 检验不适合 - 事实上，一旦您估计参数，它就不再是无分布的。

您的 p 值将是完全错误的 - 您的实际显着性水平将远低于您的名义比率，并且功率将相应地低。

如果要进行类似 Kolmogorov-Smirnov 的检验，则需要 Lilliefors 检验的 t 分布版本（本质上是具有拟合参数的 KS 检验）。

根据观察值之间的平方相关性和分布的近似预期阶数统计数据，使用 Shapiro-Francia 类型检验的改编版本可能会做得更好。这将直接对应于合适的 QQ 图中的相关性。$t_N$

对于上述任一测试，都可以模拟零下的分布。

如果样本量不小，另一种选择是 Anderson-Darling 检验。它与 KS 有同样的问题，但随着样本量的增加，影响似乎下降得相对较快。请参阅 D'Agostino 和 Stephens “拟合优度技术”中的讨论

[如果您有一个特定的替代方案，（其中可能是一种特殊情况，例如使用不同的 df 对 at 进行测试），您可能能够进行似然比统计。]$t_N$

也有单峰性和对称性的测试。