这个看似简单的问题比看起来更深，将我们一路引向 Hammersley-Clifford 定理。我们可以从完整的条件句中恢复联合分布这一事实使 Gibbs 采样器成为可能。如果我们记得边际并不决定联合分布，这可能会被视为一个令人惊讶的结果。

让我们看看如果我们用众所周知的联合、条件和边缘密度的定义进行正式计算会发生什么。自从

$$f_{X,Y}(x,y)=f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_Y(y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)\,f_X(x) \, ,$$ 我们有 $$\int \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{f_{X\mid Y}(x\mid y)}dy = \int \frac{f_Y(y)}{f_X(x)}dy = \frac{1}{f_X(x)} \, ,$$ 我们可以从完整的条件生成中正式恢复联合密度 $$f_{X,Y}(x,y) = \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{\int f_{Y\mid X}(y\mid x)/f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dy} \, . \qquad (*)$$

这种形式计算的问题在于它假设所有涉及的对象确实存在。

例如，考虑一下如果给定我们会发生什么

$$X\mid Y=y\sim\text{Exp}(y) \qquad \text{and} \qquad Y\mid X=x\sim\text{Exp}(x) \, .$$ 它遵循$f_{Y\mid X}(y\mid x)/f_{X\mid Y}(x\mid y) = x /y$，以及分母中的积分$(*)$分歧。

为了保证我们可以从完整的条件中恢复联合密度，使用$(*)$我们需要本文讨论的兼容条件：

“兼容条件分布”，Barry C. Arnold 和 S. James Press，美国统计协会杂志，卷。84，第 405 期（1989 年），第 152-156 页。

最后，阅读 Robert 和 Casella书中有关 Hammersley-Clifford 定理的讨论